截半黑塞二十七面体

**双黑塞二十七面体**
	投影到实二维空间的平行投影
类别	复正多面体
对偶多面体	截半黑塞二十七面体
数学表示法
考克斯特符号; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	2{4}3{3}3
性质
面	72个 2{4}3
边	216 { }
顶点	54
欧拉特征数	F=72, E=216, V=54 （χ=-90）
特殊面或截面
皮特里多边形;	十八边形
梵奥斯截面; （英语：Van_Oss_polygon）	{6}
组成与布局
面的种类	2{4}3
顶点图	3{3}3
对称性
对称群	M3 = 3[3]3[4]2, order 1296
特性
	正
	查; 论; 编;

**截半黑塞二十七面体**
	投影到实二维空间的平行投影
类别	复正多面体
对偶多面体	双黑塞二十七面体
原像	黑塞二十七面体（截半）
数学表示法
考克斯特符号; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	; 、.
施莱夫利符号	3{3}3{4}2
性质
面	54个 3{3}3
边	216条 3{}（英语：Trion (geometry)）
顶点	72
欧拉特征数	F=54, E=216, V=72 （χ=-90）
特殊面或截面
皮特里多边形;	十八边形
梵奥斯截面; （英语：Van_Oss_polygon）	9个3{4}3
组成与布局
面的种类	莫比乌斯－坎特八边形
顶点图	3{4}2（英语：3-3_duoprism#Related_complex_polygons） ;
边的种类	三元棱（英语：Trion (geometry)）
对称性
谢泼德群; （英语：Shephard groups）	M3 = 3[3]3[4]2, order 1296; 3[3]3[3]3, order 648
特性
	正
	查; 论; 编;

在几何学中，截半黑塞二十七面体是一个复正多面体，其位于 $\mathbb {C} ^{3}$ 复希尔伯特空间中由54个莫比乌斯－坎特八边形组成，共有54个面、216条边和72个顶点。其梵奥斯多边形（英语：Van_Oss_polygon）为施莱夫利符号计为₃{4}₃的二十四边形、顶点图为施莱夫利符号计为₃{4}₂的六边形、对偶多面体为双黑塞二十七面体。^[2]

考克斯特指出，三个复正多面体黑塞二十七面体（）、双黑塞二十七面体（，此多面体的对偶多面体）和截半黑塞二十七面体（）可以视为实空间多面体正四面体（）、立方体（）和正八面体（）在复空间的类比。^[3]

截半黑塞二十七面体是一种位于复数空间的立体，其对应到实数空间同样也有一种实数空间的代表，其为1₂₂多胞体（英语：1 22 polytope），考克斯特表示法计为。^[2]

性质

截半黑塞二十七面体位于 $\mathbb {C} ^{3}$ 复数空间中，由54个面、216条边和72个顶点所组成。其中54个面为全等的莫比乌斯－坎特八边形、216条边皆为连接了三个顶点的棱，称为三元棱或三元边（Trion）^{[注 1]}，在施莱夫利符号中可以用₃{}来表示^[4]、72个顶点皆为6个莫比乌斯－坎特八边形的公共顶点，在顶点图中，这种顶点可以用施莱夫利符号计为₃{4}₂的六边形表示；而其对多面体为由施莱夫利符号计为₃{4}₂的六边形组成的七十二面体，称为双黑塞二十七面体。^[5]

截半黑塞二十七面体可以视为黑塞二十七面体经过截半变换的结果，在截半的过程中，会产生形状与原像的顶点图相同、数量为原像顶点各数的面，^[6]因此，黑塞二十七面体在经过截半变换后，产生了27个莫比乌斯－坎特八边形的面，因此截半黑塞二十七面体共有54个面。^[7]

面的组成

截半黑塞二十七面体由54个全等的莫比乌斯－坎特八边形组成^[8]。莫比乌斯－坎特八边形是一种由8个顶点和8条棱所组成的几何结构，其在施莱夫利符号中可以用₃{3}₃来表示、在考克斯特记号中可以用来表示。与一般的八边形不同，莫比乌斯－坎特八边形位于复希尔伯特平面，且构成这种形状的棱每个棱皆连接了三个顶点，称为三元棱或三元边（Trion），这种几何结构在施莱夫利符号中可以用₃{}来表示。^[4]

或由72个顶点、216条三元棱（或三元边）和54 个₃{3}₃面组成	的其中一个₃{3}₃ 面以蓝色标示	的其中一个₃{4}₃形状之梵奥斯多边形（英语：Van_Oss_polygon）以蓝色标示

结构

截半黑塞二十七面体的元素在布局矩阵中可以表示为正和拟正两种形式^[9]

M₃ = ₃[3]₃[4]₂对称性
M₃	k维面	f_k	f₀	f₁	f₂	k维顶点图	备注
	( )	f₀	72	9	6	₃{4}₂	M₃/M₂ = 1296/18 = 72
L₁A₁	₃{ }	f₁	3	216	2	{ }	M₃/L₁A₁ = 1296/3/2 = 216
L₂	₃{3}₃	f₂	8	8	54	( )	M₃/L₂ = 1296/24 = 54

L₃ = ₃[3]₃[3]₃对称性
L₃	k维面	f_k	f₀	f₁	f₂		k维顶点图	备注
L₁L₁	( )	f₀	72	9	3	3	₃{ }×₃{ }	L₃/L₁L₁ = 648/9 = 72
L₁	₃{ }	f₁	3	216	1	1	{ }	L₃/L₁ = 648/3 = 216
L₂	₃{3}₃	f₂	8	8	27	*	( )	L₃/L₂ = 648/24 = 27
L₂	₃{3}₃	f₂	8	8	*	27	( )	L₃/L₂ = 648/24 = 27

对偶多面体

截半黑塞二十七面体的对偶多面体又称为双黑塞二十七面体是一个位于 $\mathbb {C} ^{3}$ 复希尔伯特空间中由72个施莱夫利符号计为₂{4}₃的复多边形组成，共有72个面、216条边和54个顶点^[5]，其可以经由黑塞二十七面体透过交错变换构造而成，在考克斯特记号中可以用或表示，并与等价。

面的组成

双黑塞二十七面体由72个全等且施莱夫利符号计为₂{4}₃的复多边形组成^[8]。这种多边形位于 $\mathbb {C} ^{2}$ 复希尔伯特空间中由6个顶点和9条边组成，在图论中对应结构称为汤玛森图^[10]或4-cage^[11]。

双黑塞二十七面体的面是一个₂{4}₃多边形。图中将其6个顶点著上红色和蓝色，并由9条二元边相接形成完全二分图。	其边可分为三组，以不同颜色表示。

结构

双黑塞二十七面体中的元素可以透过布局矩阵表示：

M₃	k维面	f_k	f₀	f₁	f₂	k顶点	说明
L₂	( )	f₀	54	8	8	₃{3}₃	M₃/L₂ = 1296/24 = 54
L₁A₁	{ }	f₁	2	216	3	₃{ }	M₃/L₁A₁ = 1296/6 = 216
M₂	₂{4}₃	f₂	6	9	72	( )	M₃/M₂ = 1296/18 = 72

正交投影

正交投影
多面体	多面体的其中一面以蓝色表示。	多面体中52个顶点交替涂上两种颜色。	在正复合立体中以红色和蓝色的顶点呈现与多面体。

注释

^ 在数学中，边或棱通常可以代表顶点皆只位在单一轴上并不涉及其他轴分量组成的几何结构，例如x轴上的(2,0)连接到(3,0)的棱，但若将每一个维度从实数推广至复数，则“轴”的概念可以被替换为高斯平面，这意味著棱不再只是一条线段，而可能是高斯平面上的一个区域。而三元边或三元棱则为连接三个顶点所构成复数空间的棱。这种结构无法存于实空间，在实空间中，三元棱对应的几何结构为三角形。

参考文献

Coxeter, H. S. M., Moser, W. O. J.; Generators and Relations for Discrete Groups (1965), esp pp 67–80.
Coxeter, H. S. M.; Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, (1974).
Coxeter, H. S. M., Shephard, G.C.; Portraits of a family of complex polytopes, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244,

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2
^ ^2.0 ^2.1 Coxeter, 1991,^[1] p.30, 47
^ Coxeter, 1991,^[1] p.127
^ ^4.0 ^4.1 Coxeter, Complex Regular Polytopes,^[1] 11.1 Regular complex polygons p.103
^ ^5.0 ^5.1 Coxeter, Regular Convex Polytopes, 1991,^[1] p.30, 47
^ Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)
^ Duke, Andrew Cameron, Cube-like regular incidence complexes, Northeastern University, 2014
^ ^8.0 ^8.1 Stacey, Blake C, Sporadic SICs and Exceptional Lie Algebras, sunclipse, December 30, 2018
^ Coxeter, Regular Convex Polytopes, 1991,^[1] p.132
^ Coxeter, H. S. M., Self-dual configurations and regular graphs, Bulletin of the American Mathematical Society, 1950, 56: 413–455, MR 0038078, doi:10.1090/S0002-9904-1950-09407-5 .
^ Coxeter, 1991,^[1] p.110, 114

[6] 在数学中，边或棱通常可以代表顶点皆只位在单一轴上并不涉及其他轴分量组成的几何结构，例如x轴上的(2,0)连接到(3,0)的棱，但若将每一个维度从实数推广至复数，则“轴”的概念可以被替换为高斯平面，这意味著棱不再只是一条线段，而可能是高斯平面上的一个区域。而三元边或三元棱则为连接三个顶点所构成复数空间的棱。这种结构无法存于实空间，在实空间中，三元棱对应的几何结构为三角形。

[Coxeter,_1991-3] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2

[Coxeter,_Complex_Regular_Polytopes:30,47-4] 2.0 ^2.1 Coxeter, 1991,^[1] p.30, 47

[5] Coxeter, 1991,^[1] p.127

[Coxeter,_Complex_Regular_Polytopes_p.103-7] 4.0 ^4.1 Coxeter, Complex Regular Polytopes,^[1] 11.1 Regular complex polygons p.103

[double_Hessian_polyhedron_Coxeter-8] 5.0 ^5.1 Coxeter, Regular Convex Polytopes, 1991,^[1] p.30, 47

[9] Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)

[phdthesis_duke2014cube-10] Duke, Andrew Cameron, Cube-like regular incidence complexes, Northeastern University, 2014

[article_stacey2018sporadic-11] 8.0 ^8.1 Stacey, Blake C, Sporadic SICs and Exceptional Lie Algebras, sunclipse, December 30, 2018

[12] Coxeter, Regular Convex Polytopes, 1991,^[1] p.132

[coxeter_Thomsen_graph-15] Coxeter, H. S. M., Self-dual configurations and regular graphs, Bulletin of the American Mathematical Society, 1950, 56: 413–455, MR 0038078, doi:10.1090/S0002-9904-1950-09407-5 .

[Coxeter,_Complex_Regular_Polytopes:110,114-16] Coxeter, 1991,^[1] p.110, 114

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[注 1]

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