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梯形公式

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线性函数(红色)会作用估算函数 (蓝色)。

梯形公式数学数值积分的基础公式之一:

公式由来

积分中值定理可得

但由于ξ其值一般难于确定,故难以准确算出的值。

如果用两端点算术平均值估算,有

这就是梯形公式。

类似地,如果用区间中点其高度取代,从而有中矩形公式

复合求积公式

每一区间相同

梯形公式的示意图(长度相同的区间)。

为了计算出更加准确的定积分,可以把积分的区间分成份,当中趋向无限,分割出的每一个区间长度必定要是一样的,然后就可以应用梯形公式:

亦可以写成:

当中

其余项为

当区间的长度并不相同时,这一条公式便不能使用。

每一区间并不相同

梯形公式的示意图(长度不相同的区间)

给予以及定积分就可以估算成

,

当中

.

误差分析

应用梯形公式的误差值是真值数字与运用梯形公式结果的差异:

如果 中存在一个实数,那么

对于中矩形公式,其误差类似的有:

如果被积函数是一个凸函数(亦即有一个正值二阶导数),那么误差会是一个负数,也代表梯形公式的估算值高估了真实数字。这可以利用一个几何图形代去表达:梯形不但覆盖曲线下的面积更超越其范围。同样地,如果被积函数是一个凹函数,梯形公式就会低估其真实数字因为曲线下部份面积没有被计算在内。如果被积函数中有拐点。它的错误是比较难去估计。

一般而言有数种方法可以去分析误差,例如是:傅利叶级数

的情况下,趋向性的估计误差是:

参考文献

  • 《数值分析》,清华大学出版社,李庆扬等编,书号ISBN 978-7-302-18565-9