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Ext函子

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同调代数中,Ext 函子是 Hom 函子的导函子。此函子首见于代数拓扑,但其应用遍布许多领域。

定义

为有充足内射元的阿贝尔范畴,例如一个 上的左范畴 。固定一对象 ,定义函子 ,此为左正合函子,故存在右导函子 ,记为 。当 时,常记之为

根据定义,取 内射分解

并取 ,得到

去掉首项 ,最后取上同调群,便得到

另一方面,若 中也有充足射影元(例如 ),则可考虑右正合函子 及其左导函子 ,可证明存在自然同构 。换言之,对 射影分解

并取 ,得到

去掉尾项 ,其同调群同构于

基本性质

  • 射影对象内射对象,则对所有
  • 反之,若 ,则 射影对象。若 ,则 内射对象
  • 根据导函子性质,对每个短正合序列 ,有长正合序列
  • 承上,若 有充足的射影元,则对第一个变数也有长正合序列;换言之,对每个短正合序列 ,有长正合序列

谱序列

今设 为含单位元的,并固定一环同态 。则由双函子的自然同构

导出格罗滕迪克谱序列:对每个 -模 -模 ,有谱序列

这个关系称为换底

Ext函子与扩张

Ext 函子得名于它与群扩张的联系。抽象地说,给定两个对象 ,在扩张

的等价类与 之间有一一对应,下将详述。

对任两个扩张

可以构造其 Baer 和,其中 反对角线)。这在等价类上构成一个群运算,可证明此群自然地同构于

对更高阶的扩张,同样可定义等价类;对任两个 n-扩张(n>1)

此时的 Baer 和定为

其中 (反对角线 之定义同上),。这也在 n-扩张的等价类上构成一个群运算,此群自然同构于 。借此,能在任何阿贝尔范畴上定义 Ext 函子。

重要例子

  • 为群,取环 ,可以得到群上同调
  • 局部赋环空间 上的 -模范畴,可以得到层上同调
  • 李代数,取环 为其泛包络代数,可以得到李代数上同调
  • 为域,-代数,取环 带有自然的 -模结构,此时得到 Hochschild 上同调:

文献

  • Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1