在同调代数中,Ext 函子是 Hom 函子的导函子。此函子首见于代数拓扑,但其应用遍布许多领域。
定义
设
为有充足内射元的阿贝尔范畴,例如一个环
上的左模范畴
。固定一对象
,定义函子
,此为左正合函子,故存在右导函子
,记为
。当
时,常记之为
。
根据定义,取
的内射分解
![{\displaystyle J(B)\longleftarrow B\longleftarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c49f392bf1c8329ee9f351f520ffc340c1a1846)
并取
,得到
![{\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,J(B))\longleftarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)\longleftarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8b38200cb01cbce7e55c5ee37b6174901fee9b)
去掉首项
,最后取上同调群,便得到
。
另一方面,若
中也有充足射影元(例如
),则可考虑右正合函子
及其左导函子
,可证明存在自然同构
。换言之,对
取射影分解:
![{\displaystyle P(A)\longrightarrow A\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512fe214f8d8be47347f5c0ffc9c35bb2683adb0)
并取
,得到
![{\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(P(A),B)\longrightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a27153b9bdf3c196b2d2739efb519fb82ffa7998)
去掉尾项
,其同调群同构于
。
基本性质
- 若
是射影对象或
是内射对象,则对所有
有
。
- 反之,若
,则
是射影对象。若
,则
是内射对象。
![{\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(\bigoplus _{i}A_{i},B)=\coprod _{i}\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A_{i},B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e51e0fe8bd9876191f508968e9901d7246f304)
![{\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,\prod _{j}B_{j})=\prod _{j}\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c0251f68ded9e1ce84eff53bc568c6dd257259c)
- 根据导函子性质,对每个短正合序列
,有长正合序列:
![{\displaystyle \cdots \to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n-1}(A,B'')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B'')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n+1}(A,B'')\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861e6d076369fac6fb6a86efa1c194fa767f9a9f)
- 承上,若
有充足的射影元,则对第一个变数也有长正合序列;换言之,对每个短正合序列
,有长正合序列
![{\displaystyle \cdots \to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n-1}(A',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A'',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n+1}(A'',B)\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee9122bc01e222a612ee3748e5be841d5800999f)
谱序列
今设
为含单位元的环,并固定一环同态
。则由双函子的自然同构
![{\displaystyle \mathrm {Hom} _{B}(-,\mathrm {Hom} _{A}(B,-))\simeq \mathrm {Hom} _{A}(-,-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3af781cb290c370edaaa6f355c0e0154dfd54e9)
导出格罗滕迪克谱序列:对每个
-模
及
-模
,有谱序列
![{\displaystyle E_{2}^{pq}=\mathrm {Ext} _{B}^{p}(M,\mathrm {Ext} _{A}^{q}(B,N))\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{p+q}(M,N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fab82bfc740a2ee8cd6f3ce9fca72299ba49ddc)
这个关系称为换底。
Ext函子与扩张
Ext 函子得名于它与群扩张的联系。抽象地说,给定两个对象
,在扩张
![{\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c630ec5832c006d2065cd40610d0d636553aaf94)
的等价类与
之间有一一对应,下将详述。
对任两个扩张
与
![{\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C'\rightarrow A\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3496795119f1452a8fa4644843f58950760ac6)
可以构造其 Baer 和 为
,其中
(反对角线)。这在等价类上构成一个群运算,可证明此群自然地同构于
。
对更高阶的扩张,同样可定义等价类;对任两个 n-扩张(n>1)
与
![{\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow X'_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X'_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910e040f2bb19e3098a4e1d1cf51501cc0f3ba0a)
此时的 Baer 和定为
![{\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow Y_{n}\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{2}\oplus X'_{2}\rightarrow X''_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7b20c5d8b16009feda90f4880a565405131204)
其中
(反对角线
之定义同上),
。这也在 n-扩张的等价类上构成一个群运算,此群自然同构于
。借此,能在任何阿贝尔范畴上定义 Ext 函子。
重要例子
- 设
为群,取环
,可以得到群上同调:
。
- 设
为局部赋环空间
上的
-模范畴,可以得到层上同调:
。
- 设
为李代数,取环
为其泛包络代数,可以得到李代数上同调:
。
- 设
为域,
为
-代数,取环
,
带有自然的
-模结构,此时得到 Hochschild 上同调:
。
文献
- Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1