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反對稱矩陣

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線性代數
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣

線性代數中,反對稱矩陣(或稱斜對稱矩陣)指轉置矩陣和自身的加法逆元相等的方形矩陣。其滿足:

AT = − A

或寫作,各元素的關係為:

例如,下例為一個斜對稱矩陣:

在非偶數域中,斜對稱矩陣中的主對角線元素皆為0。

例子

特性

  • 斜對稱矩陣自身相乘的積是對稱矩陣
  • 任意矩陣是斜對稱矩陣。
  • 是斜對稱矩陣,向量
  • 斜對稱矩陣的主對角線元素必是零,所以其跡數為零。

行列式

的斜對稱矩陣,其行列式滿足

  • 是奇數,行列式等於零。這個結果叫雅可比定理
  • 是偶數,行列式可以寫成部分元素的多項式的平方:

這個多項式普法夫行列式。任意實斜對稱矩陣的行列式是非負數。

譜理論

斜對稱矩陣的特徵根永遠以成對的形式(±λ)出現,因此一個實數斜對稱矩陣的非零特徵根為純虛數將會如下:iλ1, −iλ1, iλ2, −iλ2, …,其中 λk 是實數。

實斜對稱矩陣是正規矩陣(它們與伴隨矩陣可交換),因此滿足譜定理的條件,它說明任何實斜對稱矩陣都可以用一個酉矩陣對角化。由於實斜對稱矩陣的特徵值是複數,因此無法用實矩陣來對角化。然而,通過正交變換,可以把每一個斜對稱矩陣化為方塊對角線的形式。特別地,每一個2n × 2n的實斜對稱矩陣都可以寫成A = Q Σ QT的形式,其中Q是正交矩陣,且:

對於實數λk。這個矩陣的非零特徵值是±iλk。在奇數維的情況中,Σ總是至少有一個行和一個列全是零。

無窮小旋轉

斜對稱矩陣形成了正交群O(n)在單位矩陣的切空間。在某種意義上,斜對稱矩陣可以視為無窮小旋轉

另外一種說法是,斜對稱矩陣的空間形成了李群O(n)的李代數o(n)。這個空間上的李括號由交換子給出:

很容易驗證,兩個斜對稱矩陣的交換子也是斜對稱的。

於是,斜對稱矩陣A矩陣指數,是正交矩陣R

李代數的指數映射的像總是位於含有單位元的李群的連通分支內。在李群O(n)的情況中,這個連通分支是特殊正交群SO(n),由所有行列式為1的正交矩陣組成。因此R = exp(A)的行列式為+1。於是,每一個行列式為1的正交矩陣都可以寫成某個斜對稱矩陣的指數。

參見

參考文獻