線性代數
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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在線性代數中,反對稱矩陣(或稱斜對稱矩陣)指轉置矩陣和自身的加法逆元相等的方形矩陣。其滿足:
- AT = − A
或寫作
,各元素的關係為:
![{\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b13b66becdbad4f6b9ba00ed6dffc39c694be0)
例如,下例為一個斜對稱矩陣:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5208d0a8179be243b62e384ba69c2c08ed6a9d99)
在非偶數域中,斜對稱矩陣中的主對角線元素皆為0。
例子
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&2\\-2&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d848e8c8120f0911299ecb69edba54776a5b22)
特性
- 斜對稱矩陣自身相乘的積是對稱矩陣。
- 任意矩陣
,
是斜對稱矩陣。
- 若
是斜對稱矩陣,
是向量,![{\displaystyle x^{T}Ax=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5569b280b6626c3af4c867266433b96d743ef9a)
- 斜對稱矩陣的主對角線元素必是零,所以其跡數為零。
行列式
若
是
的斜對稱矩陣,其行列式滿足
。
- 若
是奇數,行列式等於零。這個結果叫雅可比定理。
- 若
是偶數,行列式可以寫成部分元素的多項式的平方:
。
這個多項式
叫
的普法夫行列式。任意實斜對稱矩陣的行列式是非負數。
譜理論
斜對稱矩陣的特徵根永遠以成對的形式(±λ)出現,因此一個實數斜對稱矩陣的非零特徵根為純虛數將會如下:iλ1, −iλ1, iλ2, −iλ2, …,其中 λk 是實數。
實斜對稱矩陣是正規矩陣(它們與伴隨矩陣可交換),因此滿足譜定理的條件,它說明任何實斜對稱矩陣都可以用一個酉矩陣對角化。由於實斜對稱矩陣的特徵值是複數,因此無法用實矩陣來對角化。然而,通過正交變換,可以把每一個斜對稱矩陣化為方塊對角線的形式。特別地,每一個2n × 2n的實斜對稱矩陣都可以寫成A = Q Σ QT的形式,其中Q是正交矩陣,且:
![{\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/695f425e403040e077a31b770f94467b95216ef2)
對於實數λk。這個矩陣的非零特徵值是±iλk。在奇數維的情況中,Σ總是至少有一個行和一個列全是零。
無窮小旋轉
斜對稱矩陣形成了正交群O(n)在單位矩陣的切空間。在某種意義上,斜對稱矩陣可以視為無窮小旋轉。
另外一種說法是,斜對稱矩陣的空間形成了李群O(n)的李代數o(n)。這個空間上的李括號由交換子給出:
![{\displaystyle [A,B]=AB-BA\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39c4010af25c496dbbd5be995cf81ea7d9727d5)
很容易驗證,兩個斜對稱矩陣的交換子也是斜對稱的。
於是,斜對稱矩陣A的矩陣指數,是正交矩陣R:
![{\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26ba9f4e72697b5eb56530b2715269b257dedea)
李代數的指數映射的像總是位於含有單位元的李群的連通分支內。在李群O(n)的情況中,這個連通分支是特殊正交群SO(n),由所有行列式為1的正交矩陣組成。因此R = exp(A)的行列式為+1。於是,每一個行列式為1的正交矩陣都可以寫成某個斜對稱矩陣的指數。
參見
參考文獻