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反對稱矩陣

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线性代数
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵

線性代數中,反對稱矩陣(或稱斜對稱矩陣)指轉置矩陣和自身的加法逆元相等的方形矩陣。其滿足:

AT = − A

或寫作,各元素的關係為:

例如,下例為一個斜對稱矩陣:

在非偶数域中,斜對稱矩陣中的主對角線元素皆為0。

例子

特性

  • 斜對稱矩陣自身相乘的積是對稱矩陣
  • 任意矩陣是斜對稱矩陣。
  • 是斜對稱矩陣,向量
  • 斜對稱矩陣的主對角線元素必是零,所以其跡數為零。

行列式

的斜對稱矩陣,其行列式滿足

  • 是奇數,行列式等於零。這個結果叫雅可比定理
  • 是偶數,行列式可以寫成部分元素的多項式的平方:

這個多項式普法夫行列式。任意實斜對稱矩陣的行列式是非負數。

譜理論

斜對稱矩陣的特征根永遠以成對的形式(±λ)出現,因此一個實數斜對稱矩陣的非零特征根為純虛數將會如下:iλ1, −iλ1, iλ2, −iλ2, …,其中 λk 是實數。

实斜对称矩阵是正规矩阵(它们与伴随矩阵可交换),因此满足谱定理的条件,它说明任何实斜对称矩阵都可以用一个酉矩阵对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是复数,因此无法用实矩阵来对角化。然而,通过正交变换,可以把每一个斜对称矩阵化为方块对角线的形式。特别地,每一个2n × 2n的实斜对称矩阵都可以写成A = Q Σ QT的形式,其中Q是正交矩阵,且:

对于实数λk。这个矩阵的非零特征值是±iλk。在奇数维的情况中,Σ总是至少有一个行和一个列全是零。

无穷小旋转

斜对称矩阵形成了正交群O(n)在单位矩阵的切空间。在某种意义上,斜对称矩阵可以视为无穷小旋转

另外一种说法是,斜对称矩阵的空间形成了李群O(n)的李代数o(n)。这个空间上的李括号由交换子给出:

很容易验证,两个斜对称矩阵的交换子也是斜对称的。

于是,斜对称矩阵A矩阵指数,是正交矩阵R

李代数的指数映射的像总是位于含有单位元的李群的连通分支内。在李群O(n)的情况中,这个连通分支是特殊正交群SO(n),由所有行列式为1的正交矩阵组成。因此R = exp(A)的行列式为+1。于是,每一个行列式为1的正交矩阵都可以写成某个斜对称矩阵的指数。

參見

参考文献