在數學裡,有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的,其錯誤——通常是經過設計的——卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已,但可以被用來顯示嚴謹在數學中的重要性。
大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形 此一錯誤為採一非單射的函數
,以觀察對某些
和
,會有
,來(錯誤地)做出
的結論。零除數是此類錯誤的一特例;
為將
映射至
的函數,而其錯誤的一步是起於將
的等式做成
的結論。相似地,下面證明了
的句子也是以函數
的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個
和
會使得
的一正確申論,然後做出了
的一錯誤結論。
算術例子
證明1是最大的正整數
- 假設最大的正整數不是
,而是
,有
;
,
為正的,所以由
得到
;
- 但是
還是正整數,可是沒有任何正整數比
大,矛盾;
Q.E.D.
此一證明是無效的,因為最大的正整數不存在,因此不能如此假設。
證明-1等於1
- 由一等式開始
![{\displaystyle -1=-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3958b7aaa19d7383587409f6520088e24a6739a)
- 將兩邊轉成假分數
![{\displaystyle {\frac {-1}{1}}={\frac {1}{-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f23edc3525b5dc5e9570df66a8220d9531abea)
- 將兩邊開方
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b071d34a97898d759d17a296d97b812bb46fc76)
- 其會等於
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5799b1320639aad6921929ce41bcb8f8fdf1714f)
- 兩邊同乘
以來消去分數
![{\displaystyle {\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}{\sqrt {1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51122576b0aa29172550dea025304b9fe09f3df3)
- 但任一數的開方之平方會給出原本的數來,故
![{\displaystyle -1=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ef57ed7ab7af369e8dfeb053627b04fb060831e)
Q.E.D.
此一證明是無效的,因為負數的開方不是實數,
推出
是錯誤的(事實上,
,
)。
證明1等於2
1.令
,且
2.將兩邊乘以a
![{\displaystyle a^{2}=ab\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40e83d82ce82333d79b7e91edba8cba9217c31c)
3.將兩邊減掉
![{\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef77b8b88cc32eaa0663d821867277ae9a7b525c)
4.將兩邊因式分解
![{\displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0b375d7e16154c6b74865c1b84935bf86812f0)
5.將兩邊除以
![{\displaystyle a+b=b\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6346b0d1650ab42a56953ee9127c2d18ec41bb2)
6.因為
因此
![{\displaystyle b+b=b\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1e656a22cd3e500f2c16cd5f5d7ea30aebed02)
7.簡化
![{\displaystyle 2b=b\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc16ed509c59d25324c7d2764310c0dd086f73e)
8.將兩邊除以b
![{\displaystyle 2=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36b96819850a45e84e5cee8d2e38e1000a761b7)
Q.E.D.
這個證明的錯誤點在於第五步,
正因為a=b所以a-b等於零,而除以零是無效的。
證明4等於5
- 由一等式開始
![{\displaystyle -20=-20\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bc327ca93f2ee65dd061168c2be455c813f6dbd)
- 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示
![{\displaystyle 25-45=16-36\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74a3a1d79e82e5792a801a407f8326f554e0a5f)
- 將兩邊做因式分解
![{\displaystyle 5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb977890df1bc534d409c622184ca586855dd2a)
- 將兩邊加上相同的數
![{\displaystyle 5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3398ae95561c5f00d0c40a4e8602344d5850a009)
- 將兩邊再做一次因式分解
![{\displaystyle \left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f305fede81315d20d85560e7db85c8f240d97d06)
- 將兩邊開方
![{\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bab5f12c67d64789fe3e1c12ac8cebe2c688935)
- 消去相同的項
![{\displaystyle 5=4\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78874ceaf8092f3849b4cc0666918c2346bb676d)
Q.E.D.
那一證明內的錯誤在於
不表示
的這一事實。到此之前的算術都是正確的,而事實上,
。需注意的是,若將4減去
,會得到
。若再平方的話,則會得到正的
。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話,則將會看見
會等於
。原始的
式子事實上是會導致一個正確的等式的(若此一問題是以此一純粹的方式運算的話)。
證明1+1=0
- 求
︰
![{\displaystyle {\begin{aligned}1+1&=1+{\sqrt {1}}\\&=1+{\sqrt {(-1)(-1)}}\\&=1+{\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\\&=1+i\times i\\&=1+(-1)\\&=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc5ed73293aa834d47b27b3807d461c72af8e38)
Q.E.D.
此證明的錯誤在於
只有在a與b不皆為負數才成立,
並不等於
。
證明0=1
首先,設定一個無窮級數。
![{\displaystyle 0=0+0+0+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc111f16c5c8bf7c24cf66dacc3be30c5b286a42)
因為
,因此:
![{\displaystyle 0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efdb84251a8b74cc5db01442250b30fcce8f83c9)
拆括號之後在於不同的地方加上括號:
![{\displaystyle 0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d8c1d41c694e3f2ff19a2bd47ee043d67de217)
,因此:
![{\displaystyle 0=1+0+0+0+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17cfaee15f0af903ff14e8472e1a5d12abe9003f)
![{\displaystyle 0=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33c44a13e4c6c209733b7906e1080d885db8d49)
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於,無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下,將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的,因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數
。
證明任何數字等於1/任何數字
![{\displaystyle -{\frac {1}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12003fa45441f68647bb65974f93f39df10659cb)
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於,
不等於
,正確等式應是
(下一步:
)。
證明0/0等於0
首先,我們知道:
![{\displaystyle 0^{4}=0\times 0\times 0\times 0=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a19c54de36b3c81e8293e48cab0457924c4cfd1)
![{\displaystyle 0^{2}=0\times 0=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/675fa5d45e9cb9b926fbba208afd471c8c42b2b9)
由於
因此
因此
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於,
成立的前提有
。
證明任意兩數都是相等的
設![{\displaystyle u=a\ ,\ v=b-c\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0875e9e7e99c94dda91be749093919e4922fba)
設
由和立方與差立方公式可知:
![{\displaystyle (u+{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}+3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv+v{\sqrt {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66a43caab9d08c90c92854dd2dd6f563bb24ce1)
![{\displaystyle (u-{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}-3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv-v{\sqrt {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f23ca8d4c7b00adfb464d034e187766137f1542)
由於
![{\displaystyle (a+{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)+(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f846037340cbd5c3f32b95cdc7b85d7b1f4b39a8)
![{\displaystyle (a-{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)-(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/089e6cd51b61925b39ae93c8091eb2c366679f9a)
將
代入
,可得:
![{\displaystyle 3a^{2}+b-c=3(x^{2}-2xy+y^{2})+x^{2}+2xy+y^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c10342858c5d05ef0a6764952bc477d4e9e7db)
因此:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(a+{\sqrt {b-c}})^{3}&=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}\\a+{\sqrt {b-c}}&=a-{\sqrt {b-c}}\\{\sqrt {b-c}}&=0\\b-c&=0\\b&=c\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c73009607dc66d0639ed9a3a3c43654aeaa982f)
代入
,可得:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\x^{2}+2xy+y^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\-3x^{2}+6xy-3y^{2}&=0\\(x-y)^{2}&=0\\x-y&=0\\x&=y\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fad69c7012c817a1f3f74b219947f05d6ce19a3c)
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於:
1、在以上的假設下,可得
,所以
和
並不是獨立的;
2、在複數域中,由
得不出
。在此證明中,由
得出
是錯誤的。
幾何例子
第一題:證明任何三角形都是正三角形
第一題錯誤的證圖
第一題正確的證圖
第二題錯誤的證圖
第二題正確的證圖
給定三角形△ABC,證明AB = AC:
- 作∠A的角平分線。
- 作BC的垂直平分線,並設BC的中點為D。
- 設這兩條直線的交點為P。
- 從P向AB和AC作垂線,並設垂足為E和F。
- 作直線PB和PC。
- △EAP ≅ △FAP(AP = AP;∠PAF ≅ ∠PAE由於AP平分∠A;∠AEP ≅ ∠AFP都是直角)。
- △PDB ≅ △PDC(∠PDB、∠PDC是直角;PD = PD;BD = CD由於PD平分BC)。
- △EPB ≅ △FPC(EP = FP由於△EAP ≅ △FAP;BP = CP由於△PDB ≅ △PDC;∠EPB ≅ ∠FPC由於它們是對頂角)。
- 因此,AE ≅ AF,EB ≅ FC,AB = AE + EB = AF + FC = AC。
- 同理,AB = BC,AC = BC。
證畢。
這個證明的錯誤在於,只有在△ABC為等腰三角形,P才會位於三角形的內部,而且AP與DP會重合。
第二題:證明直角等於鈍角
給定一個矩形ABCD,證明∠DCB=∠ECB;
- 在矩形ABCD外作CE=CD。
- 聯結AE。
- 作BC、AE的中垂線,它們的垂足分別是G、F,兩條直線交於H。
- 在中垂線上的點到線段兩端的距離是相等的,所以HA=HE,HB=HC。
- 矩形的對邊相等,得AB=DC;加上作圖要求,得AB=EC。
- 利用S.S.S得△ABH≅△ECH。於是得∠ABH=∠ECH。
- 由於HB=HC,則得∠HBC=∠HCB。
- 等量減等量,得∠ABC=∠ECB。
- 矩形的四個角都是90°,得∠ABC=∠ECB=90°。
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於,由於△ABH≅△ECH,則∠BHA=∠CHE,即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE,可以把∠AHE看作是∠BHC的旋轉,因AH穿過了矩形ABCD,則EH是不可能穿過矩形ABCD的。
微積分例子
證明0等於1
我們從計算以下的不定積分開始:
![{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa64b4d6142d06029c0b1d797c6b4e8a34d5491)
利用分部積分法,可得:
,![{\displaystyle dv=dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b64084b03906a3c7048f2bfc4d86887512cfb78)
因此:
,![{\displaystyle v=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80aa02a3bfe27cd94e287de1b3e7c4a62194582)
所以,有:
![{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx={\frac {x}{x}}-\int \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)xdx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701d95d5cbdbda576b952504c5f196e891a4f1ac)
![{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=1+\int {\frac {1}{x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beee308f603899a4e00741afd3db4379fc04be0b)
![{\displaystyle 0=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33c44a13e4c6c209733b7906e1080d885db8d49)
證畢。
這個證明的錯誤在於,忽略了積分完會出現的積分常數C。若繼續計算,會得到
。
參見