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外微分

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數學上,微分拓撲外微分算子,把一個函數的微分的概念推廣到更高階的微分形式的微分。它在流形上的積分理論中極為重要,並且是德拉姆上同調Alexander-Spanier上同調中所使用的微分算子。其現代形式是由嘉當發明的。

定義

一個k階的微分形式的外微分是一個k+1階的微分形式。

對於一個k-形式ω = ΣI fI dxIRn上,其定義如下:

對於一般的k-形式 ΣI fI dxI (其中多重指標I取遍所有{1, ..., n}的基數k的有序子集),我們只作了線性推廣。注意如果上面有

(參看楔積)。

性質

外微分滿足三個重要性質:

可以證明外微分由這些性質和其與 0-形式(函數)上的微分的一致性唯一決定。

d閉形式組成,而其恰當形式組成 (參看恰當微分)。

坐標不變公式

給定一個k-形式ω和任意光滑向量場V0,V1, …, Vk我們有

其中表示李括號,而帽子記號表示省略該元素:

特別的有,對於1-形式,我們有:

更一般的,李導數由李括號定義:

,

而一般微分形式的李導數和外微分密切相關。區別主要是記號上的;各種兩者之間的恆等式可以在李導數條目找到。

微積分中的外微分

下面的對應關係揭示了向量微積分的諸多公式實際上只是上述外微分的三個法則的特殊情況而已。

對於一個0-形式,也就是一個光滑函數f: RnR,我們有

所以,對於向量場

其中grad f代表f梯度<•, •>是純量積

對於一個1-形式R3上,

它限制到三維情況就是

因此,對於向量場, 我們有 其中curl V代表V旋度 ×是向量積,而<•, •>純量積

對於一個2-形式

對於三維,若我們得到

其中V是一個向量場定義為

範例

對於1-形式 on R2我們有

這剛好就是在格林定理中被積分的2-形式。

向量微積分的恆等式:

皆是外微分第三性質—— 的特例。

參看