跳至內容

算術-幾何平均數

維基百科,自由的百科全書

兩個正實數算術-幾何平均數定義如下:

首先計算算術平均數(相加平均),稱其為。然後計算幾何平均數(相乘平均),稱其為;這是算術平方根

然後重複這個步驟,這樣便得到了兩個數列

這兩個數列收斂於相同的數,這個數稱為算術-幾何平均數,記為,或

例子

欲計算的算術-幾何平均數,首先算出它們的算術平均數和幾何平均數:

然後進行迭代:

etc.

繼續計算,可得出以下的值:

n an gn
0 24 6
1 15 12
2 13.5 13.416407864999...
3 13.458203932499... 13.458139030991...
4 13.458171481745... 13.458171481706...

24和6的算術-幾何平均數是兩個數列的公共極限,大約為13.45817148173。

性質

是一個介於的算術平均數和幾何平均數之間的數。

如果,則

還可以寫為如下形式:

其中是第一類完全橢圓積分

1和的算術-幾何平均數的倒數,稱為高斯常數

存在性的證明

由算術幾何不等式可得

因此

這意味着 是不降序列。同時,因為兩個數的幾何平均數是總是介於兩個數之間,又可以得到該序列是有上界的( 中的較大者)。根據單調收斂定理,存在 使得:

然而,我們又有:

從而:

證畢。

關於積分表達式的證明

該證明由高斯首次提出[1]。 令

將積分變量替換為 , 其中

於是可得

因此,我們有

最後一個等式可由 推出。

於是我們便可得到算術幾何平均數的積分表達式:

參考文獻

引用

  1. ^ David A. Cox. The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss. J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein (編). Pi: A Source Book. Springer. 2004: 481 [2014-08-12]. ISBN 978-0-387-20571-7. (原始內容存檔於2020-06-14).  first published in L'Enseignement Mathématique, t. 30 (1984), p. 275-330

來源

參見