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邏輯斯諦迴歸

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邏輯斯諦迴歸(英語:Logistic regression,又譯作邏輯斯諦斯迴歸羅吉斯迴歸邏輯迴歸對數幾率迴歸),在統計學中是一種對數幾率模型(英語:Logit model,又譯作邏輯斯諦模型、評定模型、分類評定模型),是離散選擇法模型之一,屬於多變量分析範疇,是社會學生物統計學臨床數量心理學計量經濟學市場營銷統計實證分析的常用方法。

通過使事件的對數發生率(log-odd)成為一個或多個自變量的線性組合,對事件發生的概率進行建模。形式上,在二元邏輯迴歸中,有一個二元應變量,由指示變量編碼,其中兩個值標記為「0」和「1」,而自變量每個都可以是二元變量(兩個類,由指示變量)或連續變量(任何實值)。標記為「1」的值的相應概率可以在0和1之間變化;將對數發生率轉換為概率的函數就是邏輯斯諦函數,因此得名。對數發生率單位稱為logit,來自logistic unit[1]

二元變量在統計學中廣泛用於對某一類別或事件發生概率的建模,例如團隊獲勝概率、患者健康概率等,而其中,邏輯模型則自大約1970年以來最常用的二元迴歸模型。[2]當存在兩個以上可能值(例如圖像是否是貓、狗、獅子等)時,二元變量可以推廣為分類變量,並且二元邏輯迴歸推廣為多項邏輯迴歸。如果多個類別是有序的,則可以使用序數邏輯迴歸。邏輯迴歸模型本身只是簡單地根據輸入對輸出概率進行建模,並不執行統計分類。[3]

例子

以一個例子說明邏輯迴歸如何解決實際問題:

一個小組20名學生,各自花費0~6小時準備考試,他們不同的學習時數如何影響通過考試的概率?

問題中的應變量是考試「通過」或者「掛科」,這是用邏輯迴歸的原因,雖然分別用「1」和「0」表示,但這兩個數字不代表基數。如果問題發生變化,用0-100的成績(基數)代替通過、掛科,則可以使用迴歸分析。

下表顯示每個學生花費在學習上的小時數,以及他們通過(1)或掛科(0)。

小時(xk 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 4.00 4.25 4.50 4.75 5.00 5.50
通過(yk 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

對學習時間(xk)和測試結果(yk = 1 表示通過,0 表示掛科)組成的數據進行擬合。數據點由下標k索引,該下標從1到20。x變量稱為「自變量」,y變量稱為「分類變量」,由「通過」或「失敗」兩個類別組成,分別對應於分類值1和0。

模型

擬合xmym數據的邏輯迴歸曲線圖。該曲線顯示了通過考試的概率與學習時間的關係

邏輯函數形式為:

其中μ是位置參數(曲線的中點,其中),s是尺度參數。該式可重寫為:

稱為截距,是直線y截距。是反比例參數或速率參數,是作為"x"函數的對數發生率的"y"截距和斜率。反之,,並且

邏輯斯諦分佈公式

邏輯斯諦分佈函數圖像

其中參數常用最大似然估計

IIA假設

全名為Independent and irrelevant alternatives假設,也稱作IIA效應,指Logit模型中的各個可選項是獨立的。

IIA假設示例

市場上有A,B,C三個商品相互競爭,分別佔有市場份額:60%,30%和10%,三者比例為:6:3:1

一個新產品D引入市場,有能力佔有20%的市場——

如果滿足IIA假設,各個產品獨立作用,互不關聯:新產品D佔有20%的市場份額,剩下的80%在A、B、C之間按照6:3:1的比例瓜分,分別佔有48%,24%和8%。

如果不滿足IIA假設,比如新產品D跟產品B相似度高,則新產品D的CP值高而奪去產品B的部分市場(總份額的20%),則產品B剩餘10%,而產品A和C的市場份額保持60%和10%不變。

滿足IIA假設的優點

  • 可以獲得每個個性化的選擇集合的一致的參數估計
  • 各個類別的子集的一般化的估計
  • 大大節省時間
  • 可選項數目很多的時候尤其如此

IIA假設的檢驗

Hausman檢驗

傑里·A·奧斯曼丹尼爾·麥克法登提出的。

一般化模型的檢驗

IIA問題的解決方法

可以將可選項間的相關性建模

巢式Logit模型

巢式(Nested)表示可選項被分作不同的組,組與組之間不相關,組內的可選項相關,相關程度用1-λg來表示(1-λg越大,相關程度越高)

對偶組合Logit模型
一般化分簇Logit模型

混合Logit模型

應用

配體結合分析

配體結合分析的典型校準曲線是S形的,下邊界(漸近線)靠近背景信號(非特異性結合),而上漸近線靠近最大的飽和響應。 四參數邏輯模型通常是擬合這種形狀校準曲線的首選,可以準確描述測量信號值與分析物濃度之間的S形關係。當不對稱性明顯時會添加第五個參數,但可能會導致擬合算法變得不穩定。[4]

二類評定模型(Binary Logit Model)

  • 僅有兩個可選項:V1n,V2n
變量類型 統計量 組別比較 迴歸模型
numerical mean t-test/ANOVA 線性迴歸
categorical percentage Chi-square test 邏輯斯諦迴歸
persontime KM estimates
(survival curves)
Log-rank test 比例風險迴歸

參考書目

  • Agresti, Alan: Categorical Data Analysis. New York: Wiley, 1990.
  • Amemiya, T., 1985, Advanced Econometrics,Harvard University Press.
  • Hosmer, D. W. and S. Lemeshow: Applied logistic regression. New York; Chichester, Wiley, 2000.

參見

參考資料

  1. ^ Hosmer, David W.; Lemeshow, Stanley. Applied logistic regression. Wiley series in probability and statistics 2. ed., [Nachdr.] New York: Wiley. 200. ISBN 978-0-471-35632-5.  缺少或|title=為空 (幫助)
  2. ^ Cramer, J.S. The Origins of Logistic Regression. SSRN Electronic Journal. 2003. ISSN 1556-5068. doi:10.2139/ssrn.360300 (英語). 
  3. ^ Walker, Strother H.; Duncan, David B. Estimation of the Probability of an Event as a Function of Several Independent Variables. Biometrika. 1967-06, 54 (1/2) [2023-11-11]. doi:10.2307/2333860. (原始內容存檔於2024-02-29). 
  4. ^ Findlay, John W. A.; Dillard, Robert F. Appropriate calibration curve fitting in ligand binding assays. The AAPS Journal. 2007-06, 9 (2). ISSN 1550-7416. doi:10.1208/aapsj0902029. 

外部連結