拉格朗日力學時常涉及廣義速度。假設一個物理系統的廣義坐標是
,表示廣義速度為
。廣義速度定義為廣義坐標對於時間
的導數:
。
與動能的關係
在三維空間裏,一個質量為
、速度為
的粒子的動能是
。
速度是位置
對於時間
的導數。應用偏微分連鎖律,可以得到
;
其中,
是第
個廣義坐標,
是對應的廣義速度。
所以,
。
將方程式展開[1],動能可以分為三個項目表示:
;
其中,
,
,
。
、
、
分別為廣義速度
的0次、1次、2次齊次函數。如果這系統是定常系統,位置不顯性地含時間,
,則只有
不等於零。所以,
,動能是廣義速度的2次齊次函數。
參閱
參考文獻
- ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 25. ISBN 0201657023 (英語).