超素数
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超素数也称为高阶素数,是指在素数序列中,第2个、第3个、第5个……等序数为素数的数。换句话说,若将正整数和素数从小到大两两对应排列,让正整数的1对应素数的2,则正整数那列为素数的数字,素数那列对应的就是超素数。
超素数有
- 3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, 157, 179, 191, 211, 241, 277, 283, 331, 353, 367, 401, 431, 461, 509, 547, 563, 587, 599, 617, 709, 739, 773, 797, 859, 877, 919, 967, 991, ... (OEIS数列A006450).
若p(i) 表示第i个素数,则超素数即为p(p(i))。
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
p(n) | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 |
p(p(n)) | 3 | 5 | 11 | 17 | 31 | 41 | 59 | 67 | 83 | 109 | 127 | 157 | 179 | 191 | 211 | 241 | 277 | 283 | 331 | 353 |
Dressler & Parker (1975)利用电脑辅助的证明(和子集和问题的计算有关)证明了所有大于96的数都可以表示为几个相异超素数的和。此证明的基础和伯特兰-切比雪夫定理有关,说明(大于11的每一个超素数,都比前一个的二倍要小。
Broughan及Barnett[1]证明了小于x的超素数数量如下
这可以说明超素数的集合是小集(集合倒数的和会收敛)。
也可以用类似的方式定义更高阶的素数,产生类似的数列Fernandez (1999)。
超素数的一个变体是序数为回文素数的素数,数列如下
参考资料
- ^ Kevin A. Broughan and A. Ross Barnett, On the Subsequence of Primes Having Prime Subscripts (页面存档备份,存于互联网档案馆), Journal of Integer Sequences 12 (2009), article 09.2.3.
- Bayless, Jonathan; Klyve, Dominic; Oliveira e Silva, Tomás, New bounds and computations on prime-indexed primes, Integers, 2013, 13: A43:1–A43:21 [2024-03-11], MR 3097157, (原始内容存档于2023-06-07)
- Broughan, Kevin A.; Barnett, A. Ross, On the subsequence of primes having prime subscripts, Journal of Integer Sequences, 2009, 12, article 09.2.3 [2015-08-25], (原始内容存档于2015-09-11)
- Dressler, Robert E.; Parker, S. Thomas, Primes with a prime subscript, Journal of the ACM, 1975, 22 (3): 380–381, MR 0376599, doi:10.1145/321892.321900.
- Fernandez, Neil, An order of primeness, F(p), 1999 [2015-08-25], (原始内容存档于2012-07-10).