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共變異數

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機率論統計學中,共變異數(英語:Covariance)用於衡量隨機變數間的相關程度。

「Covariance」的各地常用譯名
中國大陸協方差
臺灣共變異數
港澳協方差
日本、韓國共分散
兩變數X與Y在3種不同的共變異數情況下的關係

定義

定義 — 
樣本空間 是定義在 事件族 上的機率。(換句話說, 是個機率空間

是定義在 上的兩個實數隨機變數期望值分別為:

則兩者間的共變異數定義為:

根據測度積分的線性性質,上面的原始定義可以進一步簡化為:

共變異數矩陣

共變異數的定義可以推廣到兩列隨機變數之間

定義 — 
機率空間 是定義在 上的兩列實數隨機變數序列(也可視為有序對行向量

若二者對應的期望值分別為:

則這兩列隨機變量間的共變異數定義成一個 矩陣

以上的定義,以矩形來表示就是:

性質

統計獨立

定理 — 若隨機變數 是相互獨立的,則

計算性質

如果是實數隨機變數,是常數,那麼根據共變異數的定義可以得到:

對於隨機變數序列,有

對於隨機變數序列,有

相關係數

取決於共變異數的相關性

更準確地說是線性相依性,是一個衡量線性獨立的無量綱數,其取值在之間。相關性時稱為「完全線性相依」(相關性時稱為「完全線性負相關」),此時將作Y-X 散點圖,將得到一組精確排列在直線上的點;相關性數值介於-1到1之間時,其絕對值越接近1表明線性相依性越好,作散點圖得到的點的排布越接近一條直線。

相關性為0(因而共變異數也為0)的兩個隨機變數又被稱為是不相關的,或者更準確地說叫作「線性獨立」、「線性不相關」,這僅僅表明兩隨機變數之間沒有線性相依性,並非表示它們之間一定沒有任何內在的(非線性)函數關係,和前面所說的「二者並不一定是統計獨立的」說法一致。

參見