擬凸函數

擬凸函數（Quasiconvex function）是一類定義在實向量空間的區間或凸子集上的實值函數，且滿足對任意實數 $a$ ， $(-\infty ,a)$ 的原像都是凸集。反之如果原像都是凹集，則稱為擬凹函數。

凸函數一定是擬凸函數，但反之則不然，因此擬凸函數是一個更廣泛的概念。凹函數的情況也類似。

定義與性質

設函數 $f:S\to \mathbb {R}$ 定義在實向量空間的凸子集 $S$ 上。我們稱 $f$ 是擬凸的，如果對任意的 $x,y\in S$ 和 $\lambda \in [0,1]$ 都有

f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}

。

另一種等價的定義則是任何的 $S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}$ 都是凸集。

如果有 $f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}$ ，則稱 $f$ 是嚴格擬凸的。

類似地，可以定義擬凹函數和嚴格擬凹函數。我們稱 $f$ 是擬凹的，如果對任意的 $x,y\in S$ 和 $\lambda \in [0,1]$ 都有

f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}

。

如果有 $f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}$ ，則稱 $f$ 是嚴格擬凹的。

如果一個函數既是擬凸的又是擬凹的，則稱其為擬線性的。