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二刻尺作圖

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二刻尺作圖

二刻尺希臘語νεῦσις拉丁轉寫neusis)是一種幾何作圖的工具,是上面有二個刻度的直尺(刻度可以在作圖過程中標示),因此可以記錄長度。

二刻尺在古希臘時期曾經和圓規、(無刻度的)直尺一樣是在尺規作圖合法的作圖工具。而後來的尺規作圖多限定只能使用無刻度的直尺,不允許使用二刻尺。

構造

二刻尺介於刻度尺和尺規作圖中的尺之間,既不同於日常使用的刻度尺(有許多刻度),也不同於尺規作圖中的尺(沒有刻度)。二刻尺有兩個刻度,使得二刻尺上有某一固定長的線段。尺規作圖中的,可視為畫無限長的直線工具,二刻尺可看作這種尺上任意添加了點A和點B兩個點(AB兩點長度固定卻不確定某一數值)。

使用方法

尺規作圖中的尺只能用來將兩連接起來。而二刻尺除了可以將兩點連接起來,還有以下用法:假設上的兩刻度距離a,有兩條線lm和點P,可以用二刻尺找到一條通過P的直線,使得此直線與直線l和m的兩個交點間的距離a

如圖,有兩條線lm和點P。可以將P對齊,並讓其中一個刻度保持在l(圖中黃點)上,慢慢轉動尺 (允許尺貼着P滑動),直到另一個刻度碰到m(圖中藍點),此即為所求(圖中深藍色線)。

幾何作圖

二刻尺可以解出單用直尺和圓規無法解決的問題,例如三等分角正七邊形

用二刻尺做三等分角

三等分角

  • 已知角a,以B點為圓心,二刻尺刻度間距為半徑畫圓。
  • 角a的兩邊其中一邊交圓於A點,並畫另一邊的延長線。
  • 將二刻尺固定在A點,並將兩刻度一個移到圓上,另一個移到角a一邊的延長線上,分別稱為C點和D點。(即是使CD = AB)
  • 角b即為角a的三等分角。
用二刻尺作正七邊形

正七邊形

特定正多邊形

基本上,正n邊形可以由二刻尺作圖建構當n =

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 66, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 97, 99, 102, 104, 105, 108, 109, 110, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 130, 132, 133, 135, 136, 140, 143, 144, 146, 148, 152, 153, 154, 156, 160, 162, 163, 165, 168, 170, ... ,這是根據正十一邊形的結果衍生而得。[1]

不過當n =

23, 29, 43, 46, 47, 49, 53, 58, 59, 67, 69, 71, 79, 83, 86, 87, 89, 92, 94, 98, 103, 106, 107, 113, 115, 116, 118, 121, 127, 129, 131, 134, 137, 138, 139, 141, 142, 145, 147, 149, 157, 158, 159, 161, 166, 167, 169, ... ,就無法藉由二刻尺完成作圖。

但目前仍然不知道對於以下的n,正n邊形能不能二刻尺作圖:

25, 31, 41, 50, 61, 62, 75, 82, 93, 100, 101, 122, 123, 124, 125, 150, 151, 155, 164, ...

倍立方

用二刻尺作倍立方
  • 以二刻尺刻度的間距做AB=BC=CA=BD,且A、B、D共線。
  • 將二刻尺固定在A點,並將兩刻度一個移到CD的延長線上,另一個移到BC的延長線上,分別稱為G點和H點。
  • AG的長度就是二刻尺刻度的間距的倍。

二刻尺的沒落

數學史學家T.L.希思英語T. L. Heath(T. L. Heath)認為古希臘數學家恩諾皮德斯[a](公元前440年左右)是第一個把圓規和直尺的地位提高的人。這種避免使用二刻尺的理念多少影響了同一時期、同一座島上的幾何學希俄斯的希波克拉底英語Hippocrates of Chios(Hippocrates of Chios,不是醫師希波克拉底[b](公元前430年左右)。100年後,歐幾里得在其著作中也盡量避免使用二刻尺作圖。

公元前4世紀,受到柏拉圖理念論影響,尺規作圖被分成三個等級。這三個等級分別是:

  1. 只用圓和直線作圖(一般的尺規作圖)。
  2. 除了圓和直線,允許使用圓錐曲線作圖(橢圓拋物線雙曲線)。
  3. 使用其他方法作圖(例如:二刻尺、阿基米德螺線)。

二刻尺被放在第三級是因為它可以解決前兩級所不能解決的問題[c],因此二刻尺被當成解決問題的最終手段,這種簡單而有力的作圖工具也逐漸被當成不正當的作圖工具。希臘數學家亞歷山大里亞的帕普斯(Pappus of Alexandria,公元前325年左右)認為:「這是一個不小的錯誤」。

註釋

  1. ^ 恩諾皮德斯是最早提出尺規作圖原則的人。
  2. ^ 希波克拉底是我們目前所知第一個將幾何作圖條理化的人
  3. ^ 直尺、圓規和圓錐曲線最多只能解決二次方程的題目,而二刻尺至少可以解決三次方程的題目。

參考文獻

外部連結

參見

  1. ^ BENJAMIN, ELLIOT; SNYDER, C. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society156.3 (May 2014): 409-424.; http://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753