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相交

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數學中,相交是兩個幾何圖形之間關係的一種。兩個圖形相交是指它們有公共的部分,或者說同時屬於兩者的集合不是空集。若兩個幾何圖形在某個地方有且只有一個交點,則可以稱為相切而不是相交。如果兩個圖形完全重合,則一般不稱為相交。

集合論中,兩個集合相交是指它們的交集不是空集。

直線的相交

歐幾里得平面上,兩條直線要麼平行,要麼相交,要麼重合。這時歐幾里得第五公設的推論。相交的兩條直線恰好有一個交點。在非歐幾何中,按幾何特性(曲率),可以分為兩類。羅巴切夫斯基幾何中兩條直線要麼平行,要麼相交,但平行線不止一條。黎曼幾何中兩條直線總是相交。

三維空間或更高維空間中,兩條直線相交則必定共面。

圓的相交

歐幾里得幾何中,同一平面上的兩個之間的關係有四種:相離相切、相容和相交。相離指兩圓沒有交點而且沒有一個圓在另一個圓內部。相切是指兩圓只有一個交點。相交是指兩圓有多於一個交點。相容是指兩圓沒有交點且一個圓在另一個內部。

兩個圓相交若且唯若兩個圓心之間的距離嚴格小於兩圓的半徑之和,並嚴格大於兩圓的半徑之差。

解析幾何中的判別方法

在平面解析幾何中,設兩條直線的方程為:

那麼 相交若且唯若行列式

不等於零。

對於兩圓相交,設兩個圓的方程是:

那麼 相交若且唯若

例子

直線

  • 設兩條直線的方程是:

由於行列式:,兩直線相交。交點為

  • 設兩條直線的方程是:

由於行列式:,兩直線不相交(實際上平行)。

  • 設兩個圓的方程是:

這時兩個圓心的距離是:,因此兩圓相交。

參見

參考來源