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同界角

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45度的3個同界角

幾何學中,同界角(英語:Coterminal angles)是指兩個有向(有標示起始邊與終邊的角)有著各自的角度量值(其量值可能相等),且共用同一對起始邊與終邊,即共享相同始邊和終邊的角度,但擁有不同的旋轉量,就稱為同界角[1]。同界角擁有相同的三角函數值,因此三角函數具有週期性。每個角皆有無限多同界角,其量值可以為,但必須是一個實數

性質

正轉逆轉都可以得到相同的,但他們擁有不同的旋轉量,圖中為45度和315度

每個同界角皆差360,換句話說,每360度就會出現一個同界角[2]。每個同界角兩邊的向量內積外積皆有相同的值。此外,任何角都可以找到最小正同界角最大負同界角

同界角可以如下定義:

  1. 若有兩個角有相同的始與終邊,則兩個角互為同界角
  2. 若兩角相差360度的整數倍則兩個角互為同界角

同界角存在關係式:

亦可寫為:

或:

與三角函數關係

三角函數週期可以發現,每間隔就會找到相同高度的點,該點即為同界角的三角函數值。
反三角函數圖形得知反餘弦必得到最小正同界角,而反正弦則有可能得到最小正同界角最大負同界角

三角函數誘導公式可以得知同界角的存在,下表指出,任何三角函數,只要位移為,就會得到相同的函數值,因此互為同界角。

移位 移位
的週期
移位
的週期

另外,從簡單的三角方程式中,也可以找到同界角,例如:

考慮方程式有無限多組解,其中為一個解且為最小正同界角,其餘解皆與或是-互為同界角。

但是有例外,如正切餘切,由於其週期不為360度,如正切函數的週期為180(即),因此相同的函數值未必互為同界角。

最小正同界角與最大負同界角

角的量與最小正同界角(黃)與最大負同界角(藍)的關係

同界角通常有無窮多個,因此在計算一些角度或三角函數抑或是一些週期函數的解時,會取最接近零的同界角。這類同界角又可以再分成最小正同界角與最大負同界角。其中,最小正同界角恆為正,通常解某些具週期性的方程式的主值時,是使用最小正同界角。最小正同界角在0到(360度)之間的最小正同界角與原始角相同,當原始角為(360度)或(360度)的倍數時,最小正同界角為零;最大負同界角恆為負,在(負360度)到0之間的最大負同界角與原始角相同。

參見

參考文獻

  1. ^ Neal, Karla V.; R. David Gustafson, Jeffrey D. Hughes. Coterminal angles. Precalculus, 1st ed.. Cengage Learning. : 第412頁. ISBN 1133712673. (原始內容存檔於2019-10-18). 
  2. ^ Slavin, Steve; Ginny Crisonino. Circle. Wiley Self-Teaching Guides第 155 卷. John Wiley & Sons. 2004-10-28: 第90頁. ISBN 0471680192. (原始內容存檔於2019-11-06).