相似三角形

相似三角形

如圖，三個對應的內角的角度都一樣（但邊長大小無需一樣）的兩個三角形，或：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形稱為「相似三角形（similar triangles）」，其對應邊之比稱為相似比；兩個相似比為 1 的相似三角形稱為全等三角形。

• 下列三對邊長，稱為「對應邊」

${\overline {AB}}\;{\overline {DE}},{\overline {BC}}\;{\overline {EF}},{\overline {CA}}\;{\overline {FD}}$

• 下列三對角，稱為「對應角」

$\angle A\;\angle D,\angle B\;\angle E,\angle C\;\angle F$

當兩個三角形相似時，我們利用下面的符號來表示：

$\triangle ABC\sim \triangle DEF$

• 利用上面的符號表示時，必須保持對應角的正確順序，不可隨意排列。

判定

• 平行於三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。
• 三邊成比例的兩個三角形相似。
• 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。（注意：與全等類似，兩個三角形若兩邊成比例、且另一角（非夾角）相等，則並不一定相似。）
• 兩角分別相等的兩個三角形相似（AAA 或 AA）
• 如果兩個三角形分別與同一個三角形相似，那麼這兩個三角形也相似。
• 兩個直角三角形的斜邊、直角邊成比例則相似。

性質

對應角相等

若兩個三角形相似，則三個對應角相等。

$\angle A=\angle D,\angle B=\angle E,\angle C=\angle F$

若2個三角形相似，則三個對應邊長成比例。除此之外，兩三角形對應的中線、高、角平分線、周長均成比例，面積比是相似比的平方。

${\frac {\overline {AB}}{\overline {DE}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {EF}}}={\frac {\overline {CA}}{\overline {FD}}}=k$ 為兩個三角形的相似比。

1. 相似三角形的對應角相等，對應邊成比例。
2. 相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等於相似比。
3. 相似三角形周長的比等於相似比。
4. 相似三角形的面積的比等於相似比的平方。

參考文獻

• 三角形的全等與相似（英文）