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維面

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在幾何學中，維面（Facet）又稱為超面（hyperface[1]）是指幾何形狀的組成元素中，比該幾何形狀所在維度少一個維度的元素[5]。也是任何多胞形的邊界。而若在維面前加一個整數則代表幾何形狀的組成元素中，維度為該數的元素，例如在立方體中2維面（2-Face）是指立方體的正方形面。一般來說，維面（Facet）不應與面（Face）混淆[6][7]。一般的多胞形皆是以維面的數量命名，例如六邊形的維面是邊，其共有六條邊因此稱六邊形、八面體的維面是面，其共有八個面因此稱八面體。

維面

在幾何學中，維面是多面體、多胞形或相關幾何結構的特徵之一，其通常可以用來描述該幾何結構的主要屬性。

多面體的維面

在三維幾何中，多面體的維面是指所有頂點都是多面體頂點的多邊形面。在部分幾何結構中有可能存在不是維面的面[6][7]。而維面重組，或稱刻面是指找到新的維面形成新的多面體的過程，這個過程有時可以稱作星形化，並可以套用到更高維度的幾何結構。

多胞形的維面

在多面體組合學（英语：polyhedral combinatorics）和一般的多胞形理論中，n維多胞形中的n − 1維元素稱為維面。維面也稱為(n − 1)維面、(n − 1)面或(n − 1)-面。而在在三維幾何學通常稱為面而不是維面。[8]

单纯复形的維面

在单纯复形中，单纯复形的維面是一個单纯复形中最大的单纯形，且這個单纯形不是面也不是其他单纯复形的单纯形。[9]對於单纯多胞形的邊界複合體，此定義與多面體組合學一致。

多維面

在幾何學中，維面一詞前面若加一個整數，則代表一幾何結構中維度為該整數的元素，此概念不應與維面混淆。例如k維面代表幾何結構中維度為k的元素，又稱k面、k-面或k維元素而在更高維度中，有時會稱為k維胞，這一用法並未限定元素的所屬維度。[2][3][4]例如立方體的多維面包括了空多胞形（負一維面）、頂點（零維面）、邊（一維面）、正方形（二維面，一般稱面）和其本身（三維面，一般稱體）。正式地，對於一個多胞形P，多維面的定義是與一個「不與P內部相交的封閉半空間」的相交幾何結構（如交點、交線或交面等）[2][4]。多胞形中的多維面集合中同時也包含了多胞形本身和空多胞形。[3][4]

負一維面

正方形中的負一維面、零維面、一維面和二維面。
主条目：空多胞形

在抽象幾何學中，負一維面是多胞形中的元素集合中，不存在任何元素的子集，[10]對應到集合論中即為空集[11]且所有多胞形都含有空多胞形[12]。這種面通常稱為多胞形的極小面（least face）[13]、核維面或零化度（nullity[14]）。

零維面

主条目：頂點 (幾何)

零維面為幾何結構中的零維元素，即頂點，通常由幾何結構的元素相交於點上形成。[15]

一維面

主条目：邊 (幾何)

一維面為幾何結構中的一維元素，即邊或稜，通常由二個或多個幾何結構的元素交於一線而形成。[16]

二維面

主条目：面 (幾何)

二維面為幾何結構中的二維元素，通常會省略前面的維度直接稱面。[17]

三維或更高維度的面

主条目：胞 (幾何)

三維或更高維度的面通常稱為胞[10][18]，更高維度的胞通常會以其維度稱呼，例如四維胞、五維胞等。[19][20]

n維面

若一個多胞形其維度就是n維，則n維面為該多胞形本身，通常稱為體，而在抽象幾何學中，也稱為極大面（Greatest Face）[13]，並且與極小面合稱非法面（Improper Face）。[21]

(n-1)維面

若一個多胞形其維度就是n維，則其(n-1)維的元素稱為維面（Facet）[5]。

(n-2)維面

主条目：維脊

若一個多胞形其維度就是n維，則其(n-2)維的元素稱為維脊（Ridge）[22]。

(n-3)維面

主条目：維峰

若一個多胞形其維度就是n維，則其(n-3)維的元素稱為維峰（Peak）[23]。

參見

參考文獻

  1. ^ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Matoušek, Jiří, Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 [2019-09-16], （原始内容存档于2019-06-10） .
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Grünbaum, Branko, Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 221 2nd, Springer: 17, 2003 [2019-09-16], （原始内容存档于2013-10-31） .
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, 1995 [2019-09-16], （原始内容存档于2019-06-12） .
  5. ^ 5.0 5.1 Matoušek (2002)[2], p. 87; Grünbaum (2003)[3], p. 27; Ziegler (1995)[4], p. 17.
  6. ^ 6.0 6.1 Bridge, N.J. Facetting the dodecahedron, Acta crystallographica A30 (1974), pp. 548–552.
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  8. ^ Matoušek, Jiří, Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 [2019-09-16], （原始内容存档于2019-06-10） .
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  10. ^ 10.0 10.1 H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes, Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. 2012. ISBN 9780486141589. 
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  18. ^ Weisstein, Eric W. (编). Cell. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  19. ^ Ditela, polytopes and dyads. [2019-09-16]. （原始内容存档于2018-10-18）. 
  20. ^ 施开达, 马利庄. 正则多胞形和 N 维空间有限旋转群理论的一些新结果. 自然科学进展: 国家重点实验室通讯. 1999, 9 (A12): 1336––1341. 
  21. ^ Araujo-Pardo, Gabriela and Hubard, Isabel and Oliveros, Deborah and Schulte, Egon. Colorful polytopes and graphs. Israel Journal of Mathematics (Springer). 2013, 195 (2): 647––675. 
  22. ^ Matoušek (2002)[2], p. 87; Ziegler (1995)[4], p. 71.
  23. ^ Nishio, Kengo and Miyazaki, Takehide. Describing polyhedral tilings and higher dimensional polytopes by sequence of their two-dimensional components. Scientific reports (Nature Publishing Group). 2017, 7: 40269. 

外部連結

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