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信息論

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信息論(英語:information theory)是應用數學電子學計算機科學的一個分支,涉及信息的量化、存儲和通信等。信息論是由克勞德·香農發展,用來找出信號處理通信操作的基本限制,如數據壓縮、可靠的存儲和數據傳輸等。自創立以來,它已拓展應用到許多其他領域,包括統計推斷、自然語言處理密碼學神經生物學[1]、進化論[2]和分子編碼的功能[3]生態學的模式選擇[4]、熱物理[5]量子計算語言學、剽竊檢測[6]模式識別異常檢測和其他形式的數據分析[7]

是信息的一個關鍵度量,通常用一條消息中需要存儲或傳輸一個符號英語Symbol rate的平均比特數來表示。熵衡量了預測隨機變量的值時涉及到的不確定度的量。例如,指定擲硬幣的結果(兩個等可能的結果)比指定擲骰子的結果(六個等可能的結果)所提供的信息量更少(熵更少)。

信息論將信息的傳遞作為一種統計現象來考慮,給出了估算通信信道容量的方法。信息傳輸和信息壓縮是信息論研究中的兩大領域。這兩個方面又由信道編碼定理信源-信道隔離定理相互聯繫。

信息論的基本內容的應用包括無損數據壓縮(如ZIP文件)、有損數據壓縮(如MP3JPEG)、信道編碼(如數字用戶線路DSL))。這個領域處在數學統計學計算機科學物理學神經科學電機工程學的交叉點上。信息論對航海家深空探測任務的成敗、光盤的發明、手機的可行性、互聯網的發展、語言學和人類感知的研究、對黑洞的了解,以及許多其他領域都影響深遠。信息論的重要子領域有信源編碼信道編碼算法複雜性理論算法信息論資訊理論安全性信息度量等。

簡述

信息論的主要內容可以類比人類最廣泛的交流手段——語言來闡述。

一種簡潔的語言(以英語為例)通常有兩個重要特點: 首先,最常用的詞(比如"a"、"the"、"I")應該比不太常用的詞(比如"benefit"、"generation"、"mediocre")要短一些;其次,如果句子的某一部分被漏聽或者由於噪聲干擾(比如一輛車輛疾馳而過)而被誤聽,聽者應該仍然可以抓住句子的大概意思。而如果把電子通信系統比作一種語言的話,這種健壯性robustness)是不可或缺的。將健壯性引入通信是通過信道編碼完成的。信源編碼和信道編碼是信息論的基本研究課題。

注意這些內容同消息的重要性之間是毫不相干的。例如,像「多謝;常來」這樣的客套話與像「救命」這樣的緊急請求在說起來、或者寫起來所花的時間是差不多的,然而明顯後者更重要,也更有實在意義。信息論卻不考慮一段消息的重要性或內在意義,因為這些是數據的質量的問題而不是數據量(數據的長度)和可讀性方面上的問題,後者只是由概率這一因素單獨決定的。

信息的度量

信息熵

美國數學家克勞德·香農被稱為「信息論之父」。人們通常將香農於1948年10月發表於《貝爾系統技術學報英語Bell System Technical Journal》上的論文《通信的數學理論英語A Mathematical Theory of Communication》作為現代信息論研究的開端。這一文章部分基於哈里·奈奎斯特拉爾夫·哈特利英語Ralph Hartley於1920年代先後發表的研究成果。在該文中,香農給出了信息熵的定義:

其中為有限個事件x的集合,是定義在上的隨機變量。信息熵是隨機事件不確定性的度量。

信息熵與物理學中的熱力學熵有着緊密的聯繫:

其中S(X)為熱力學熵,H(X)為信息熵,波茲曼常數。 事實上這個關係也就是廣義的波茲曼熵公式,或是在正則系綜內的熱力學熵表示式。如此可知,玻爾茲曼吉布斯在統計物理學中對熵的工作,啟發了信息論的熵。

信息熵是信源編碼定理中,壓縮率的下限。若編碼所用的資訊量少於信息熵,則一定有資訊的損失。香農在大數定律漸進均分性英語Asymptotic equipartition property的基礎上定義了典型集英語Typical set和典型序列。典型集是典型序列的集合。因為一個獨立同分布的序列屬於由定義的典型集的機率大約為1,所以只需要將屬於典型集的無記憶信源序列編為唯一可譯碼,其他序列隨意編碼,就可以達到幾乎無損失的壓縮。

例子

設有一個三個面的骰子,三面分別寫有為擲得的數,擲得各面的概率為

聯合熵與條件熵

聯合熵Joint Entropy)由熵的定義出發,計算聯合分布的熵:

條件熵Conditional Entropy),顧名思義,是以條件機率計算:

貝氏定理,有,代入聯合熵的定義,可以分離出條件熵,於是得到聯合熵與條件熵的關係式:

鏈式法則

可以再對聯合熵與條件熵的關係做推廣,假設現在有個隨機變量,重複分離出條件熵,有:

其直觀意義如下:假如接收一段數列,且先收到,再來是,依此類推。那麼收到後總訊息量為,收到後總訊息量為,直到收到後,總訊息量應為,於是這個接收過程給出了鏈式法則。

互信息

互信息Mutual Information)是另一有用的信息度量,它是指兩個事件集合之間的相關性。兩個事件的互信息定義為:

其意義為,包含的多少資訊。在尚未得到之前,對的不確定性是,得到後,不確定性是。所以一旦得到,就消除了的不確定量,這就是的資訊量。

如果互為獨立,則,於是

又因為,所以

其中等號成立條件為是一個對射函數。

互信息與G檢驗英語G-test以及皮爾森卡方檢定有着密切的聯繫。

應用

信息論被廣泛應用在:

參考文獻

  1. ^ F. Rieke, D. Warland, R Ruyter van Steveninck, W Bialek. Spikes: Exploring the Neural Code. The MIT press. 1997. ISBN 978-0262681087. 
  2. ^ cf. Huelsenbeck, J. P., F. Ronquist, R. Nielsen and J. P. Bollback (2001) Bayesian inference of phylogeny and its impact on evolutionary biology, Science 294:2310-2314
  3. ^ Rando Allikmets, Wyeth W. Wasserman, Amy Hutchinson, Philip Smallwood, Jeremy Nathans, Peter K. Rogan, Thomas D. Schneider頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), Michael Dean (1998) Organization of the ABCR gene: analysis of promoter and splice junction sequences, Gene 215:1, 111-122
  4. ^ Burnham, K. P. and Anderson D. R. (2002) Model Selection and Multimodel Inference: A Practical Information-Theoretic Approach, Second Edition (Springer Science, New York) ISBN 978-0-387-95364-9.
  5. ^ Jaynes, E. T. (1957) Information Theory and Statistical Mechanics頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), Phys. Rev. 106:620
  6. ^ Charles H. Bennett, Ming Li, and Bin Ma (2003) Chain Letters and Evolutionary Histories頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), Scientific American 288:6, 76-81
  7. ^ David R. Anderson. Some background on why people in the empirical sciences may want to better understand the information-theoretic methods (PDF). November 1, 2003 [2010-06-23]. (原始內容 (pdf)存檔於2011-07-23). 

外部連結