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蚌線

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綠色為直線,黑色為直線外一點,所有紅色線段和藍色線段的長度均相等。紫色和橙色曲線是綠色直線關於黑色點的蚌線,紫色為內支,橙色為外支
極點和原直線不變、跡距不同的一系列蚌線

平面幾何中,蚌線是一類曲線,可以由一條給定的曲線、一個定點和一個給定的長度來確定。更具體地說,過定點 的動直線與給定曲線 相交,動直線上滿足「與交點距離為定長 」的點的軌跡定出的新曲線,就是原曲線 關於極點 和跡距 的蚌線。[1][2][3]

解析幾何的方式來表述:平面曲線 極坐標方程為 ,則以 為方程的曲線是 關於原點的蚌線。[4]

「蚌線」也常特指原曲線為直線的蚌線,即尼科美迪斯蚌線[5]尼科美迪斯英語Nicomedes (mathematician)是古希臘數學家,他利用這種蚌線來解決古希臘數學三大難題中的兩個——三等分角倍立方體[6]

尼科美迪斯蚌線

灰色為直線,黑色為蚌線的極點
  跡距小於極點與直線的距離,極點與內支分離
  跡距等於極點與直線的距離,極點是內支的尖點
  跡距大於極點與直線的距離,極點是內支的結點

性質

有定直線 和直線外一固定點 ,過點 的動直線與 相交,動直線上滿足「與交點距離為定長」的點的軌跡,就是直線 關於極點 的蚌線 ,即尼科美迪斯蚌線。一條尼科美迪斯蚌線有內外兩支,兩支的漸近線都為 [4][5]

通常記 與點 的距離為 ,跡距為 。根據 的關係,內支有三種不同形態:[4]

  • 時,蚌線內支沒有尖點或結點,極點與內支不相交。
  • 時,蚌線內支有一個尖點,尖點與極點重合。
  • 時,蚌線內支有一個結點,結點與極點重合。

尼科美迪斯蚌線是軸對稱圖形,對稱軸與 垂直並通過極點 [3]

歷史和應用

尼科米迪斯發明的工具,用來繪製直線蚌線的外支

古希臘數學家尼科美迪斯英語Nicomedes (mathematician)是最早研究蚌線的人。他發明了繪製直線之蚌線的工具,這是人們第一次用儀器繪製出直線和圓之外的幾何曲線。他關於蚌線的論著已經失傳,只有一部分通過帕普斯的《數學匯編》得以保存下來。帕普斯指出,存在「四種」蚌線,但只記錄了「第一種」蚌線,也就是直線蚌線的外支,用來解決尺規作圖三大難題中的兩個:三等分角倍立方體。剩下的「三種」蚌線,很可能指的是直線蚌線內支的三種形態。[7][6]

帕普斯將該曲線稱為「螺線」(κοχλοειδὴς γραμμή),這很可能是尼科美迪斯最初的叫法。後來的普羅克洛等人才改稱該曲線為「蚌線」(κογχοειδὴς γραμμή)。[7]

17世紀的大數學家艾薩克·牛頓認為蚌線是僅次於直線和圓的、定義第三簡潔的曲線,並利用蚌線構造出多種三次平面曲線。但及至當代,蚌線變得很少被數學家研究和關注。[8][9]

倍立方體

藉助蚌線作出長度為的線段

作線段 。以點 圓心半徑,以點 為圓心、 為半徑作圓,交於點

過點 作線段 垂線 。以點 為極點、 為跡距作直線 的蚌線外支。

延長 交蚌線於點 。延長 交圓 於點 。連接 於點 。線段 的長度即為 [7]

代數證明

。顯然 是正實數

因為 為直角三角形,所以

又因為 ,所以

尼科美迪斯的幾何證明
作長方形
延長 ,延長 ,交於點
連接 ,交 於點 ,點 中點。
中點 ,連接
[7]

三等分角

藉助蚌線三等分任意銳角

作任意直角三角形 ,點 為垂足。以點 為極點、 為跡距作直線 的蚌線外支。

過點 作直線 的垂線,交蚌線於點 就是 的三等分線。[7]

證明

的交點 。取 的中點 ,連接

根據蚌線和直角三角形的性質,可知

易證得

[7]

解析幾何

極坐標系中,設點 為坐標原點,則直線 和蚌線 的方程可以表示為:[4]

直角坐標系中,設點 為坐標原點,則直線 和蚌線 的方程可以表示為:[4]

或用參數方程表示為:[4]

(上下正負號同號,

尼科美迪斯蚌線是四次平面曲線[4]

帕斯卡蝸線

帕斯卡蝸線是一類外旋輪線,同時也是一類特殊的蚌線,是關於圓上一個定點的蚌線。由於極點在原曲線上,所以蚌線的內支和外支光滑相連為一條曲線。當跡距等於圓的直徑時,就是心臟線[1][2]

作圓 關於圓上一個定點 、跡距等於圓的半徑的蚌線。對於圓上任意一點 ,延長 至圓外,與所作蚌線交於點 。根據蚌線的性質,易知 。這條特殊的蚌線被稱為三等分角蝸線英語Limaçon_trisectrix[2]

其他蚌線

參考來源

  1. ^ 1.0 1.1 別爾曼俄語Берман,_Георгий_Николаевич. 摆线. 越民義 (譯). 哈爾濱: 哈爾濱工業大學出版社. 2019: 53-60. ISBN 978-7-5603-5834-5. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 霍華德·伊夫斯英語Howard Eves. 数学史概论. 第6版. 歐陽峰 (譯). 哈爾濱: 哈爾濱工業大學出版社. 2009: 126. 
  3. ^ 3.0 3.1 姜康甫; 吉星. 几何画的原理和作法. 上海: 上海科學技術出版社. 1964: 289-293. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 布隆什坦俄語Бронштейн, Илья Николаевич; 謝緬佳也夫俄語Семендяев,_Константин_Адольфович. 数学手册. 羅零, 石崢嶸 (譯). 北京: 高等教育出版社. 1965: 90-91. 
  5. ^ 5.0 5.1 高希堯. 数学术语详解词典. 西安: 陝西科學技術出版社. 1991: 20-21. ISBN 7-5369-0738-9. 
  6. ^ 6.0 6.1 莫里斯·克萊因. 古今数学思想 第1册. 張理京, 張錦炎, 江澤涵 (譯). 上海: 上海科學技術出版社. 2014: 95-96. ISBN 978-7-5478-1717-9. 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Thomas Heath英語Thomas_Heath_(classicist). A History of Greek Mathematics: Volume I, From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921: 238-240, 260-262 (英語). 
  8. ^  Chisholm, Hugh (編). Conchoid. Encyclopædia Britannica 6 (第11版). London: Cambridge University Press: 826–827. 1911 (英語). 
  9. ^ 大衛·S.里奇森英語David Richeson. 不可能的几何挑战 数学求索两千年. 姜喆 (譯). 北京: 人民郵電出版社. 2022: 176-179. ISBN 978-7-115-57370-4.