一個圓台
一個圓台
圓台,又稱截頂圓錐、圓亭,是幾何學中研究的一類三維形體,指一個圓錐被平行於它的底面的一個平面所截後,截面與底面之間的幾何形體。截面也稱為圓台的上底面,原來圓錐的底面稱為下底面。隨着圓錐形狀不同,圓台的稱呼也不相同。一般說到圓台都是指正圓台,也就是指正圓錐截出的圓台。正圓台和圓形有相同的對稱結構。以下除非另作註明,「圓台」都指正圓台。
性質
體積
圓台的體積取決於兩底面之間的距離(圓台的高),以及原來圓錐的體積。設
為圓台的高,
和
為稜台的上下底面半徑,
為圓台的體積。由於圓台是由一個平面截去圓錐的一部分(也就是和原來圓錐相似的一個小圓錐)得到,所以計算體積的時候,可以先算出原來圓錐的體積,再減去和它相似的小圓錐的體積。圓錐被平行於底面的平面所截時,截面圓的半徑與底面半徑的比,等於小圓錐和原圓錐的高的比。假設原圓錐的高是
,那麼小圓錐的高是
。也就是說:
所以:
圓台的體積等於原圓錐體積減去小圓錐的體積:
![{\displaystyle V={\frac {\pi R^{2}H}{3}}-{\frac {\pi r^{2}(H-h)}{3}}={\frac {\pi (R^{2}-r^{2})Rh}{3(R-r)}}+{\frac {\pi hr^{2}}{3}}={\frac {\pi h}{3}}\left(R^{2}+r^{2}+Rr\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b4e480d78a605732f0700262423d64e4a078007)
《九章算術》記載的圓台體積公式:「上下周相乘,又各自乘,並之,以高乘之,三十六而一。」這是將圓周率的值取為3得到的。
表面積
圓台的側面展開圖是一個「扇面形」,也就是兩個同心扇形的差。展開圖的面積,就是兩個扇形的面積差,其中
是圓台的母線長度:
![{\displaystyle S_{c}=\pi RL-\pi r(L-l)=\pi (R+r)l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d9b1bb9fa19bdb35181430a310df2302f7e322)
圓台的表面積St等於圓台的側面積Sc加上兩底的面積Su、Sd。
![{\displaystyle S_{t}=S_{c}+S_{u}+S_{d}=\pi \left[R^{2}+r^{2}+(R+r)l\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f390488b5e6eabf508d472b46e61767c4458dd)
參看
- 稜台:平行於稜錐底面的平面截稜錐,截面和底面之間的部分;
- 圓錐:圓的各個切線和圓外一點所成的平面包圍得到的立體。
- 平截頭體:平行於錐體底面的平面截去錐體頂部後得到的幾何體,分為稜台和圓台。
參考資料