圆台

一个圆台

一个圆台

圆台，又称截顶圆锥、圆亭，是几何学中研究的一类三维形体，指一个圆锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体。截面也称为圆台的上底面，原来圆锥的底面称为下底面。随着圆锥形状不同，圆台的称呼也不相同。一般说到圆台都是指正圆台，也就是指正圆锥截出的圆台。正圆台和圆形有相同的对称结构。以下除非另作注明，“圆台”都指正圆台。

性质

体积

圆台的体积取决于两底面之间的距离（圆台的高），以及原来圆锥的体积。设$h$为圆台的高，$r$和$R$为棱台的上下底面半径，$V$ 为圆台的体积。由于圆台是由一个平面截去圆锥的一部分（也就是和原来圆锥相似的一个小圆锥）得到，所以计算体积的时候，可以先算出原来圆锥的体积，再减去和它相似的小圆锥的体积。圆锥被平行于底面的平面所截时，截面圆的半径与底面半径的比，等于小圆锥和原圆锥的高的比。假设原圆锥的高是$H$，那么小圆锥的高是$H-h$。也就是说：

${\frac {H-h}{H}}={\frac {r}{R}}.$

所以：

$H={\frac {hR}{R-r}}$

圆台的体积等于原圆锥体积减去小圆锥的体积：

$V={\frac {\pi R^{2}H}{3}}-{\frac {\pi r^{2}(H-h)}{3}}={\frac {\pi (R^{2}-r^{2})Rh}{3(R-r)}}+{\frac {\pi hr^{2}}{3}}={\frac {\pi h}{3}}\left(R^{2}+r^{2}+Rr\right)$

《九章算术》记载的圆台体积公式：“上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。”这是将圆周率的值取为3得到的。

表面积

圆台的侧面展开图是一个“扇面形”，也就是两个同心扇形的差。展开图的面积，就是两个扇形的面积差，其中$l$是圆台的母线长度：

$S_{c}=\pi RL-\pi r(L-l)=\pi (R+r)l$

圆台的表面积S_t等于圆台的侧面积S_c加上两底的面积S_u、S_d。

$S_{t}=S_{c}+S_{u}+S_{d}=\pi \left[R^{2}+r^{2}+(R+r)l\right].$

参看

• 棱台：平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分；
• 圆锥：圆的各个切线和圆外一点所成的平面包围得到的立体。
• 平截头体：平行于锥体底面的平面截去锥体顶部后得到的几何体，分为棱台和圆台。