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角 (消歧义) ”。
Unicode 中的角符号,码位为U+2220
在几何学 中,角 ( jiǎo ) (英语:angle )或精确用语平面角 ,是由两条有公共端点的射线 组成的几何对象。这两条射线叫做角的边 ,它们的公共端点叫做角的顶点 。一般的角会假设在欧几里得平面 上,但在非欧几里得几何 中也可以定义角,特别是在球面几何学 中的球面角 是用大圆 的圆弧代替射线。角在几何学 和三角学 中有着广泛的应用。
几何之父欧几里得 曾定义角为在平面 中两条不平行 的直线 的相对斜度。普罗克鲁斯 认为角可能是一种特质、一种可量化的量、或是一种关系。欧德谟 认为角是相对一直线 的偏差,安提阿的卡布斯 认为角是二条相交直线之间的空间。欧几里得认为角是一种关系,不过他对直角、锐角或钝角的定义都是量化的[ 1] 。
平面角大小的计量单位制 常用的有360度制 、弧度制 等[ 2] [ 3] 。
表示方法
角通常用三个字母表示:两条边上的点的字母写在两旁,顶点上的字母写在中间。图中的角用∠AOB或
A
O
B
^
{\displaystyle {\widehat {AOB}}}
表示。但若在不会产生混淆的情形下,也会直接用顶点的字母表示,例如角∠O。
在数学式中,一般会用希腊字母 (
α
,
β
,
γ
,
θ
,
φ
,
.
.
.
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\theta ,\varphi ,...}
)表示角的大小。为避免混淆,符号π 一般不用来表示角度。
角的测量
常见测量单位
以角的端点为圆心 做圆弧 。由于圆弧的半径 和弧长成正比 ,而角是长度的比例 ,所以圆的大小不会影响角的测量。
角度 :由角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以360的结果,一般用°来标记,读作“度”。一度可以继续分为60“分”或3600“秒”。角度 在天文学 和全球定位系统 中有重要应用。
弧度 :用角在圆上所切出的圆弧 的长度除以圆的半径,单位是rad(中文名:弪)。弧度在数学 中有广泛的应用。弧度 还是国际单位制 中规定的角的标准度量,但却不是中国法定计量单位,角度 则是角在中国的法定计量单位。
采用弧度时,通常不会标示单位,例如:
sin
π
=
sin
180
∘
=
0
{\displaystyle \sin \pi =\sin 180^{\circ }=0}
百分度 :是角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以400的结果。
其他测量单位
角度的量测可以视为弧长s 和半径r 的比例,再依选用单位乘以一比例系数
2
π
n
{\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}
。
θ
=
n
2
π
s
r
{\displaystyle \theta ={\frac {n}{2\pi }}{\frac {s}{r}}}
例如以上的弧度、角度和百分度,其转换系数
n
{\displaystyle n}
分别为
2
π
{\displaystyle 2\pi }
、360和400。
以下是一些其他的测量单位,对应不同的
n
{\displaystyle n}
值。
圈数或转数 (
n
=
1
{\displaystyle n=1}
):是指完整旋转一圈,依应用的不同,会简写为cyc 、rev 或rot ,不过在每分钟转速 (RPM)的单位中,只用一个字母r表示。
直角 (
n
=
4
{\displaystyle n=4}
):是
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{4}}}
圈,是几何原本 中用的角度单位,直角
=
90
∘
=
π
2
r
a
d
=
1
4
t
u
r
n
=
100
g
r
a
d
{\displaystyle =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\mathrm {rad} ={\frac {1}{4}}\mathrm {turn} =100\mathrm {grad} }
。在德文中曾用
⌞
{\displaystyle \llcorner }
表示直角。
时角 (
n
=
24
{\displaystyle n=24}
):)常用在天文学 中,是
1
24
{\displaystyle {\frac {1}{24}}}
圈。此系统是用在一天一个周期的循环(例如星星的相对位置),其六十进制下的子单位称为“时间分角”及“时间秒角”,这两个单位和角度的角分 及角秒 不同,前者大小为后者的十五倍。1时角
=
15
∘
=
π
12
r
a
d
=
1
6
q
u
a
d
=
1
24
t
u
r
n
≈
16.667
g
r
a
d
{\displaystyle =15^{\circ }={\frac {\pi }{12}}\mathrm {rad} ={\frac {1}{6}}\mathrm {quad} ={\frac {1}{24}}\mathrm {turn} \approx 16.667\mathrm {grad} }
。
密位 (
n
=
6000
∼
6400
{\displaystyle n=6000\sim 6400}
):此单位是指一个单位大约等于毫弧度 的角度,有许多不同的定义,其数值从0.05625度到0.06度(3.375至3.6角分),而毫弧度约为0.05729578度(3.43775角分)。在北大西洋公约组织 的国家中,密位定义为圆的
1
6400
{\displaystyle {\frac {1}{6400}}}
。其数值大约等于一个角度的弧长为一公尺,其半径为一公里的角度(
2
π
6400
=
0.0009817...
≑
1
1000
{\displaystyle {\frac {2\pi }{6400}}=0.0009817...\doteqdot {\frac {1}{1000}}}
)。瑞典历史上以圆周为6300密位(最接近),但在2007年同北约一致。
角分 (
n
=
21600
{\displaystyle n=21600}
):定义为一度的
1
60
{\displaystyle {\frac {1}{60}}}
,是
1
21600
{\displaystyle {\frac {1}{21600}}}
圈,会用 ′ 表示,例如3° 30′ 等于
3
+
30
60
{\displaystyle 3+{\frac {30}{60}}}
度,也就是3.5度,有时也会出现小数,例如
3
∘
5.72
′
=
3
+
5.72
60
{\displaystyle 3^{\circ }5.72'=3+{\frac {5.72}{60}}}
度。海里 曾定义为在地球的大圆 上一角分的弧长。
角秒 (
n
=
1296000
{\displaystyle n=1296000}
):定义为一角分的
1
60
{\displaystyle {\frac {1}{60}}}
,会用 ″ 表示,例如3° 7′ 30″等于
3
+
7
60
+
30
3600
{\displaystyle 3+{\frac {7}{60}}+{\frac {30}{3600}}}
度,或是3.125 度。
正角和负角
以上角的定义均未考虑数值为负的角。不过在一些应用时,会将角的数值加上正负号,以标明是相对参考物不同方向的旋转。
在二维的笛卡儿坐标系 中,角一般是以x轴的正向为基准,若往y轴的正向旋转,则其角为正角,若往y轴的负向旋转,则其角为负角。若二维的笛卡儿坐标系也是x轴朝右,y轴朝上,则逆时针的旋转对应正角,顺时针 的旋转对应负角。
一般而言,
−
θ
{\displaystyle -\theta }
角和一圈减去
θ
{\displaystyle \theta }
所得的角等效。例如
−
45
∘
{\displaystyle -45^{\circ }}
和
360
∘
−
45
∘
(
=
315
∘
)
{\displaystyle 360^{\circ }-45^{\circ }(=315^{\circ })}
等效,但这只适用在用角表示相对位置,不是旋转概念时。旋转
−
45
∘
{\displaystyle -45^{\circ }}
和旋转315°是不同的。
在三维的几何中,顺时针及逆时针没有绝对的定义,因此定义正角及负角时均需列出其参考的基准,一般会以一个通过角的顶点,和角所在平面垂直的向量 为基准。
在导航 时,导向 是以北方为基准,正向表示顺时针,因此导向45°对应东北方。导向没有负值,西北方对应的导向为315°。
其他量测角大小的方法
除了量测角本身的大小外.也有其他的方式,可以量测角的大小。
坡度 等于一个角的正切值,常用百分比或千分比来表示。当一个角的坡度小于5%时,其坡度近似于角以弧度表示的数值。
在有理几何学 中,一个角的大小是以伸展度(spread)来表示,伸展度定义为角对应正弦的平方,而任一角正弦的平方和该角补角正弦的平方相等。因此任一角和其补角在有理几何学中是等同的。
角的种类
个别的角
零角
角度等于0°,或弧度为0的角。
锐角
角度大于0°且小于90°,或弧度大于0且小于
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
的角。
直角
角度等于90°,或弧度为
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
的角。
钝角
角度大于90°且小于180°,或弧度大于
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
且小于
π
{\displaystyle \pi }
的角。
平角
角度等于180°,或弧度为
π
{\displaystyle \pi }
的角。
优角或反角
角度大于180°且小于360°,或弧度大于
π
{\displaystyle \pi }
且小于
2
π
{\displaystyle 2\pi }
的角。
周角
角度等于360°,或弧度为
2
π
{\displaystyle 2\pi }
的角。
三个零角
直角
优角(或作反角)
周角
锐角(a )、钝角(b )和平角(c )
以下是各角度的名称及不同单位下的数值:
名称
零角
锐角
直角
钝角
平角
优角
周角
单位
范围
转
0
{\displaystyle 0}
(
0
,
1
4
)
{\displaystyle (0,{\tfrac {1}{4}})}
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
(
1
4
,
1
2
)
{\displaystyle ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})}
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
(
1
2
,
1
)
{\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},1)}
1
{\displaystyle 1}
弧度
0
π
{\displaystyle 0\pi \,}
(
0
,
1
2
π
)
{\displaystyle (0,{\tfrac {1}{2}}\pi )}
1
2
π
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }
(
1
2
π
,
π
)
{\displaystyle ({\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi )}
π
{\displaystyle \pi }
(
π
,
2
π
)
{\displaystyle (\pi ,2\pi )}
2
π
{\displaystyle 2\pi \,}
度
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }}
(
0
∘
,
90
∘
)
{\displaystyle (0^{\circ },90^{\circ })}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
(
90
∘
,
180
∘
)
{\displaystyle (90^{\circ },180^{\circ })}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
(
180
∘
,
360
∘
)
{\displaystyle (180^{\circ },360^{\circ })}
360
∘
{\displaystyle 360^{\circ }}
令x为该角度数。
角的组合
有三种特殊角的组合,其度数和均为特殊的值:
馀角 :当两个角的度数之和等于90°,即一个直角 ,这两个角便是馀角。若两个相邻的角互为馀角,两个非共用边会形成直角。在欧几里得几何 中,非直角的两角即互为馀角。
若角A 和B 互为馀角,以下的数学式会成立:
sin
2
A
+
sin
2
B
=
1
cos
2
A
+
cos
2
B
=
1
tan
A
=
cot
B
sec
A
=
csc
B
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}A+\sin ^{2}B&=1\\\cos ^{2}A+\cos ^{2}B&=1\\\tan A&=\cot B\\\sec A&=\csc B\end{aligned}}.}
(一角的正切 等于其馀角的馀切 ,一角的正割 等于其馀角的馀割 )
三角函数中的馀函数 ,其前缀“co-”就是馀角的意思。
补角 :当两个角的度数之和等于180°,即一个平角 ,这两个角便是互补角。若两个相邻的角互为馀角,两个非共用边会形成一直线。不过两个不相邻的角也可以是补角,例如平行四边形中,任两邻角为互补角。圆内接四边形 的对角也是互补角。
若点P为圆O外的一点,而过点P作圆的切线,切点分别在点T和点Q,则∠TPQ和∠TOQ为互补角。
两互补角的正弦相等,其馀弦及正切(若有定义义)大小相等,但符号异号。
在欧几里得几何中,三角形两角的和为第三角的补角。
explementary angles or conjugate angles. 当两个角的度数之和等于360°
互为馀角的角a 和角b 图中的锐角和钝角形成一组互补角
常用定理
同顶角
同顶角
a
+
b
+
c
=
360
∘
{\displaystyle a+b+c=360^{\circ }}
直线上的邻角
直线上的邻角
a
+
b
+
c
=
180
∘
{\displaystyle a+b+c=180^{\circ }}
与平行线有关的定理
与平行线有关的定理
当
A
E
{\displaystyle AE}
平行于
B
D
{\displaystyle BD}
,
a
=
c
{\displaystyle a=c}
(同位角 ,
A
E
/
/
B
D
{\displaystyle AE//BD}
)
b
=
d
{\displaystyle b=d}
(内错角 ,
A
E
/
/
B
D
{\displaystyle AE//BD}
)
b
+
c
=
180
∘
{\displaystyle b+c=180^{\circ }}
(同旁内角 ,
A
E
/
/
B
D
{\displaystyle AE//BD}
)
由角度的关系也可以推得两直线平行
当
a
=
c
{\displaystyle a=c}
,
A
E
{\displaystyle AE}
平行于
B
D
{\displaystyle BD}
(同位角相等)
当
b
=
d
{\displaystyle b=d}
,
A
E
{\displaystyle AE}
平行于
B
D
{\displaystyle BD}
(内错角相等)
当
b
+
c
=
180
∘
{\displaystyle b+c=180^{\circ }}
,
A
E
{\displaystyle AE}
平行于
B
D
{\displaystyle BD}
(同旁内角互补)
二曲线的夹角
二曲线在P点的夹角定义为二曲线在P点切线A 和B 的夹角
曲线和直线的夹角或是二曲线间的夹角定义为二曲线在交点处切线 的夹角。
点积及其拓展
在欧几里得空间 中,二个向量 u 及v 的角和其点积 及向量的长度有关:
u
⋅
v
=
cos
(
θ
)
‖
u
‖
‖
v
‖
.
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.}
依上式可以用二个平面(或曲面)的法向量 ,计算二者之间的夹角,也可以根据二歪斜线 的向量计算其夹角。
内积
在一个抽象的实数内积空间 中,在定义角时可以用内积
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
取代欧几里得空间的点积( · ):
⟨
u
,
v
⟩
=
cos
(
θ
)
‖
u
‖
‖
v
‖
.
{\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.}
在复数的内积空间中,为了使馀弦的数值仍维持实数,因此需修改为
Re
(
⟨
u
,
v
⟩
)
=
cos
(
θ
)
‖
u
‖
‖
v
‖
.
{\displaystyle \operatorname {Re} (\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle )=\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.}
或者使用绝对值的标示:
|
⟨
u
,
v
⟩
|
=
cos
(
θ
)
‖
u
‖
‖
v
‖
.
{\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=\cos(\theta )\ \|\mathbf {u} \|\ \|\mathbf {v} \|.}
后者不考虑向量的方向,因此是描述由向量
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
及
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
所生成的二个一维子空间
span
(
u
)
{\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}
及
span
(
v
)
{\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}
之间的夹角。
黎曼几何中的角
在黎曼几何 中,利用度量张量 来定义二条切线 之间的夹角,其中U 及V 是切线向量,g ij 是度量张量G 的分量。
cos
θ
=
g
i
j
U
i
V
j
|
g
i
j
U
i
U
j
|
|
g
i
j
V
i
V
j
|
.
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}
地理学及天文学中的角
以地理 的观点,地球上任何一个位置都可以用地理座标系统 来表示,此系统标示位置的经度 及纬度 ,两者都以此点连至地球球心连线的角度来表示,经度是以格林威治子午线 为参考基准,而纬度是以赤道 为参考基准。
在天文学 中,天球 的一点可以用任何一种天球坐标系统 来表示,不过其基准则因坐标系统不同而不同。天文学量测二颗星星的角距离 时,会假想分别有二颗星星分别和地球 连成的直线,再量测这二条直线的夹角,即为角距离。
天文学家也会用角直径 量测一物体的表观大小。例如满月 的角直径约为0.5°。小角公式 可以将上述的角测量转换为距离和大小的比值。
相关条目
参考资料
外部链接
线性(平动)的量
角度(转动)的量
量纲
—
L
L2
量纲
—
—
—
T
时间 : t s
位移积分 : A m s
T
时间 : t s
—
距离 : d , 位矢 : r , s , x , 位移 m
面积 : A m2
—
角度 : θ , 角移 : θ rad
立体角 : Ω rad2 , sr
T−1
频率 : f s−1 , Hz
速率 : v , 速度 : v m s−1
面积速率 : ν m2 s−1
T−1
频率 : f s−1 , Hz
角速率 : ω , 角速度 : ω rad s−1
T−2
加速度 : a m s−2
T−2
角加速度 : α rad s−2
T−3
加加速度 : j m s−3
T−3
角加加速度 : ζ rad s−3
M
质量 : m kg
ML2
转动惯量 : I kg m2
MT−1
动量 : p , 冲量 : J kg m s−1 , N s
作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s
ML2 T−1
角动量 : L , 角冲量 : ι kg m2 s−1
作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s
MT−2
力 : F , 重量 : F g kg m s−2 , N
能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J
ML2 T−2
力矩 : τ , moment : M kg m2 s−2 , N m
能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J
MT−3
加力 : Y kg m s−3 , N s−1
功率 : P kg m2 s−3 , W
ML2 T−3
rotatum : P kg m2 s−3 , N m s−1
功率 : P kg m2 s−3 , W